(R,m,k) 为左 Noether 的局部环. 称左 R-模链复形⋯→F1→F0→F−1→⋯为极小复形, 指它右有界, 各项均为有限秩自由 R-模, 且对每个 n∈Z, d(Fn)⊆mFn−1. 换言之, F∙/mF∙ 的边缘映射都是 0. 对链复形 K∙, 其极小消解指一极小复形 F∙ 以及拟同构 f:F∙→K∙, 即 f 是复形同态, 诱导各阶同调群映射是同构.
记号同定义 1.1. 如链复形 K∙ 的同调右有界, 且都是有限生成模, 则它有极小消解 f:F∙→K∙, 且在同构意义下唯一. 此时任一投射消解到极小消解的任一映射都是逐项满射.
证明. 我们来对 n∈Z 归纳作部分消解 F∙≤n→K∙, 展开写即⋯0FnFn−1⋯⋯Kn+1KnKn−1⋯fnfn−1并要求它是部分极小消解, 指:
1. | Hi(f):Hi(F∙≤n)→Hi(K∙) 在 i<n 时是同构, i=n 时是满射. |
2. | 对 i≤n, d(Fi)⊆mFi−1. 不仅如此, (fn,d):Fn→Kn⊕Fn−1 诱导的映射 Fn→Hn(cone(F∙≤n−1→K∙)) 在模 m 之后是同构. |
显然 n≪0 时, 对所有 i≤n 取 Fi=0, 就已满足以上条件. 于是只需做归纳步. 令 C∙=cone(F∙≤n→K∙) 为映射锥, 则由条件 1, H≤n(C∙)=0. 于是令 M=Hn+1(C∙), 则有正合列0→Hn+1(K∙)→M→ker(Fn→Fn−1)→Hn(K∙)→0.(1)由 R Noether, K∙ 各阶同调有限生成, Fi 有限生成, 不难得到 M 也有限生成, 故 M/mM 是 k 上有限维线性空间. 取其一组基, 然后取同样个数的元素生成的自由模 Fn+1, 并取该基在 M 上的提升, 定义出映射 g:Fn+1→M. 由 Nakayama 引理这是满射. 现用以上正合列中的映射 M→ker(Fn→Fn−1) 将此 Fn+1 接到 Fn 上, 得链复形 F∙≤n+1. 最后由于M=im(Kn+2→Kn+1⊕Fn)ker(Kn+1⊕Fn→Kn⊕Fn−1),可再将 Fn+1→M 提升为 h:Fn+1→ker(Kn+1⊕Fn→Kn⊕Fn−1), 定义出部分消解 F∙≤n+1→K∙ 如下: ⋯0Fn+1FnFn−1⋯⋯Kn+2Kn+1KnKn−1⋯fn+1fnfn−1其中 fn+1 就是 h 往 Kn+1 的投影. 注意 h 是到 ker(Kn+1⊕Fn→Kn⊕Fn−1) 的映射, 正好保证 fn+1 右边的正方形交换以及 Fn+1→Fn→Fn−1 复合是 0. 下证此部分消解是极小的.
先看条件 1. 回忆 g:Fn+1→M 是满射. 于是由正合列 (1) 有Hn(F∙≤n+1)=coker(Fn+1→ker(Fn→Fn−1))=Hn(K∙),以及Hn+1(F∙≤n+1)=ker(Fn+1→Fn)↠ker(M→Fn)=Hn+1(K∙).再看条件 2. 此条件的第二句话无非是 Fn+1→M 在模 m 之后是同构, 而这就是 Fn+1 的构造方法. 而欲证其第一句话则需观察归纳假设的第二句话. 由归纳假设, 映射Fn→Hn(cone(F∙≤n−1→K∙))=im(Kn+1→Kn⊕Fn−1)ker(Kn⊕Fn−1→Kn−1⊕Fn−2)模 m 之后是同构. 而由于 F∙≤n+1→K∙ 是链复形同态, 不难看出 Fn+1→Fn 和以上映射复合得 0. 于是有 Fn+1→Fn 模 m 之后为 0, 即 d(Fn+1)⊆Fn.
这样, 由归纳法, 我们就能取出完整消解 f:F∙→K∙. 以上条件 1 和 2 立即推出它是极小消解.
以下我们先证定理的后一句话再证唯一性. 任取投射消解
p:P∙→K∙ 与映射
q:P∙→F∙. 由于
q 是消解之间的映射, 图表
P∙F∙K∙qpf交换, 特别地
q 是拟同构. 所以由于
P∙ 和
F∙ 都是右有界投射复形, 有
q 是
链同伦等价. 于是
qˉ:P∙/mP∙→F∙/mF∙ 也是链同伦等价, 而由极小的定义
F∙/mF∙ 的微分都是
0, 从而
qˉ 是逐项满射, 故由
Nakayama 引理 q 也是逐项满射. 现在如果
P∙ 也极小, 就会有反过来的逐项满射
r:F∙→P∙, 于是
q∘r 与
r∘q 分别是
F∙ 和
P∙ 到自身的逐项满射; 但它们各项都是 Noether 环上有限秩自由模, 故二满射都是同构, 从而
q 和
r 也都是同构 (虽然未必互逆), 故极小消解在同构意义下唯一.
记号和条件同定义 1.1 与定理 2.1. 令 d=sup{n∈Z∣Fn=0}, 则d=sup{n∈Z∣Torn(k,K∙)=0}=sup{n∈Z∣Extn(K∙,k)=0}.如果 K∙ 只有一个非零项 M 在 0 处, 则d=fd(M)=inf{n∈N∣Torn+1(k,M)=0}=pd(M)=inf{n∈N∣Extn+1(M,k)=0}.
左 Noether 局部环 (R,m,k) 的左整体维数与 Tor-维数等于inf{n∈N∣Torn+1(k,−)=0}=inf{n∈N∣Extn+1(−,k)=0},即 k 作为右 R-模的平坦维数及其作为左 R-模的内射维数. 如 R 双边 Noether, 则此数还等于inf{n∈N∣Torn+1(k,k)=0}.