消解 (同调代数)

在同调代数中, 消解是将一个 Abel 范畴中的对象换为由较好性质的对象构成的链复形的过程, 例如投射消解内射消解等.

直接把函子作用于某些对象上会导致丢失信息 (例如扭模到无扭模的同态必为 , 而无法看出模本身的更多结构). 而将对象换为在函子下表现良好的对象构成的链复形, 并令函子作用于相应地链复形上则避免了这一问题. 这也是导出函子的构造与动机.

模型范畴理论中, 消解被抽象为 (余) 纤维性替换.

1定义

投射消解与内射消解

定义 1.1 (投射消解). 是 Abel 范畴, . 的投射消解是复形 和态射 , 满足以下条件:

正合列,

中的投射对象.

定义 1.2 (内射消解). 是 Abel 范畴, . 的内射消解是链复形 和态射 , 满足以下条件:

正合列,

中的内射对象.

无圈消解

在许多情况下投射消解和内射消解不好构造或不存在, 会使用无圈消解来代替之.

定义 1.3 (无圈消解). 是 Abel 范畴, 是右正合函子, . 的无圈消解是复形 和态射 , 满足以下条件:

正合列,

中的 -无圈对象.

类似地对左正合函子也有类似定义. 无圈消解同样可以计算相应函子的导出函子.

注 1.4. 无圈消解在许多场合中出现, 例如 Godement 消解, 细消解等.

2性质

命题 2.1. 有足够多的内射对象, 即任意 , 存在内射对象 单射 . 那么对任意 , 存在内射消解.

命题 2.2. 对偶地, 对投射消解或无圈消解, 相应结论也成立.

注 2.3. Grothendieck Abel 范畴有足够多内射对象, 任意上的模范畴有足够多投射对象和内射对象.

命题 2.4. 假设有内射消解 . 如果有态射 , 则有链复形态射 .

命题 2.5. 对偶地, 对投射消解, 相应结论也成立.

3例子

杠消解

Godement 消解

4相关概念

导出函子

群上同调

术语翻译

消解英文 resolution德文 Auflösung (f)法文 résolution (f)拉丁文 resolutio (f)古希腊文 ἀνάλυσις (f)