Grothendieck Abel 范畴

Grothendieck Abel 范畴是一类 Abel 范畴, 包含了实践中大部分 Abel 范畴, 总结了它们的优良性质.

1定义

定义 1.1. Grothendieck Abel 范畴指的是满足 (AB5) 且有生成元的 Abel 范畴. 具体地说, 如 Abel 范畴 $\mathcal{A}$ 余完备、滤余极限正合, 又存在 $g\in \mathcal{A}$ 使得函子 $\mathcal{A}(g,-)$ 忠实, 则称其为 Grothendieck Abel 范畴.

2性质

引理 2.1. 如 Abel 范畴 $\mathcal{C}$ 有生成元 $g$, 则:

•	如映射 $f:c\to d$ 不是满射, 则存在映射 $g\to d$ 不穿过 $f$.
•	设 $c\in \mathcal{C}$, $a,b$ 是其子对象, 将 $\mathcal{C}(g,a)$ 和 $\mathcal{C}(g,b)$ 视为 $\mathcal{C}(g,c)$ 的子集. 则 $a\subseteq b$ 当且仅当 $\mathcal{C}(g,a)\subseteq \mathcal{C}(g,b)$.
•	对任意 $c\in \mathcal{C}$, $c$ 的所有子对象构成集合.

证明. 如映射 $f:c\to d$ 不是满射, 考虑 $d$ 到 $\mathrm{coker}(f)$ 的自然映射与零映射, 它们相异. 故由生成元的定义, 存在映射 $g\to d$, 与它们复合之后仍相异. 由余核的定义, 此即所求.

如 $a\subseteq b$, 显然 $\mathcal{C}(g,a)\subseteq \mathcal{C}(g,b)$. 反过来, $\mathcal{C}(g,a)\subseteq \mathcal{C}(g,b)$ 无非就是说, $g$ 到 $c$ 的映射中穿过 $a$ 者都穿过 $b$. 既然如此, 它们也都穿过 $a$ 和 $b$ 在 $c$ 上的纤维积, 即 $a\cap b$. 于是由上一段, 自然含入 $a\cap b\to a$ 是满射, 换言之 $a\cap b=a$, 即 $a\subseteq b$.

于是对 $c$ 的子对象 $a,b$, 只要 $\mathcal{C}(g,a)\hookrightarrow \mathcal{C}(g,c)$ 与 $\mathcal{C}(g,b)\hookrightarrow \mathcal{C}(g,c)$ 有同样的像, 就有 $a\cong b$ 作为子对象. 所以 $c$ 的子对象类能嵌入 $\mathcal{C}(g,c)$ 的幂集, 故由替换公理这是集合.

$\square$

Grothendieck Abel 范畴中有 Baer 判别法.

命题 2.2 (Baer). 如 $\mathcal{A}$ 为 Grothendieck Abel 范畴, $g$ 为其生成元, 则只要 $I\in \mathcal{A}$ 满足对 $g$ 的任意子对象 $h$, 任意 $\phi :h\to I$ 都能延拓至 $g\to I$, 就有 $I$ 内射.

证明. 要证明对 $a\in \mathcal{A}$ 及其子对象 $b$, 任意 $\phi :b\to I$ 都能延拓至 $a\to I$. 为此考虑$$\{(c,\psi )\mid b\subseteq c\subseteq a,\psi :c\to I,\psi {|}_b=\phi \}$$并取偏序 $(c,\psi )\le (c^{\prime },{\psi }^{\prime })$ 指 $c\subseteq c^{\prime }$ 且 ${\psi }^{\prime }{|}_c=\psi$. 由以下引理, 这构成偏序集. 其显然非空, 因为 $(b,\phi )$ 在其中. 由 (AB5), 其中每条链并起来之后仍是其中元素, 故链有上界. 所以由 Zorn 引理, 其有极大元 $(c,\psi )$. 只需证明 $c=a$.

用反证法. 如 $c⫋a$, 则由引理 2.1, 存在 $f:g\to a$ 不穿过 $c$. 取 $h=f^{-1}(c)⫋g$, 则由条件 $\psi \circ f:h\to I$ 能延拓为 $g\to I$. 这和 $\psi :c\to I$ 合起来给出映射 ${\psi }^{\prime }:c^{\prime }=c{\bigsqcup }_{h}g\to I$. 但 $c$ 含入 $a$ 的映射与 $f$ 合起来又给出 $c^{\prime }\hookrightarrow a$, 即 $c⫋c^{\prime }\subseteq a$, 与 $(c,\psi )$ 的极大性矛盾. 故 $c=a$.

$\square$

由 Baer 判别法能得到 Grothendieck Abel 范畴最重要的性质.

定理 2.3 (Grothendieck). Grothendieck Abel 范畴都有足够内射.

证明. 设 $\mathcal{A}$ 为 Grothendieck Abel 范畴, 并取生成元 $g$. 由引理 2.1, $g$ 的所有子对象构成集合. 取正则基数 $\kappa$ 大于该集合的势. 对 $a\in \mathcal{A}$, 我们要找内射对象 $I\in \mathcal{A}$ 以及单射 $a\to I$. 令 $a_0=a$, 并对序数 $i$ 归纳定义 $a_i$ 如下: 当 $i$ 为极限序数时为余极限 $a_i={\mathrm{colim}}_{j<i}{a}_j$, 当 $i=j+1$ 为后继序数时为推出 $a_i=a_j{\bigsqcup }_{{⨁}_{(h,\phi )}h}{⨁}_{(h,\phi )}g$, 其中下标取遍集合 $\{(h,\phi )\mid h\subseteq g,\phi :h\to a_j\}$, 映射 ${⨁}_{(h,\phi )}h\to a_j$ 由每个 $\phi$ 合起来得到. 显然对每个序数 $i$ 都有自然的映射 $a\to a_i$. 以下证明取 $I=a_{\kappa }$ 即为所求.

显然每个 $a_i\to a_{i+1}$ 都是单射. 故由 (AB5) 即得 $a\to I$ 也单. 我们来用 Baer 判别法验证 $I$ 内射. 取 $h\subseteq g$ 以及 $\phi :h\to I$. 对每个序数 $i\le \kappa$, 把 $a_i$ 视为 $I$ 的子对象, 并定义 $h_i={\phi }^{-1}(a_i)$, 则 $\{h_i{\}}_{i<\kappa }$ 是 $h$ 的子对象族, 关于 $i$ 递增. 由于 $h$ 的子对象个数小于等于 $g$ 的子对象个数从而小于 $\kappa$, 此递增族在 $i$ 足够大时稳定, 即存在 $k<\kappa$, 对所有 $i\ge k$, $h_i=h_k$. 再由 (AB5) 有 ${\bigcup }_{i<\kappa }{h}_i={\phi }^{-1}\left({\bigcup }_{i<\kappa }{a}_i\right)={\phi }^{-1}(I)=h$, 故 $h=h_k$, 也就是说 $\phi$ 实际上是 $h$ 到 $a_k$ 的映射. 那么由 $a_{k+1}$ 的构造, $\phi$ 可延拓为 $g\to a_{k+1}$. 这样就证明了任意的 $\phi :h\to I$ 都可延拓到 $g\to I$, 于是 $I$ 内射.

$\square$

推论 2.4. Grothendieck Abel 范畴都有内射余生成元.

证明. 沿用以上记号. 令 $a={⨁}_{h\subseteq g}g/h$ 并取 $a\hookrightarrow I$, $I$ 内射, 下证 $I$ 是余生成元, 即函子 $\mathcal{A}(-,I)$ 忠实. 由于这是正合函子, 要证它忠实, 只需证它把非零对象打到非零对象. 取非零的 $b\in \mathcal{A}$. 则由于 $g$ 是生成元, 存在非零映射 $g\to b$, 即存在 $h⫋g$ 使得 $g/h\hookrightarrow b$. 由 $I$ 的构造, 存在 $g/h\to I$ 的非零映射, 于是由内射即知存在 $b\to I$ 的非零映射.

$\square$

命题 2.5. Grothendieck Abel 范畴都是可表现范畴. 从而 Grothendieck Abel 范畴都完备.

证明. 设 $\mathcal{A}$ 为 Grothendieck Abel 范畴, 并取生成元 $g$. 依定义 $\mathcal{A}$ 余完备, 故只需证存在小的满子范畴 ${\mathcal{A}}_0$ 使得 $\mathcal{A}$ 中每个对象都是一些 ${\mathcal{A}}_0$ 中的对象的余极限. 事实上取 ${\mathcal{A}}_0$ 为 $g^n$ 的商对象, $n$ 取遍自然数, 生成的子范畴, 即足. 由于 $\mathcal{A}$ 中每个对象的所有子对象都构成集合, 故商对象亦然. 又由可数个集合的并仍是集合, 即得 ${\mathcal{A}}_0$ 小. 由构造以及 $g$ 是生成元易得对每个 $a\in \mathcal{A}$ 都有 $a={\mathrm{colim}}_{{\mathcal{A}}_0\ni a_0\subseteq a}{a}_0$.

$\square$

3例子

•	Abel 群的范畴 $\mathsf{Ab}$ 是 Grothendieck Abel 范畴, $\mathbb{Z}$ 是其生成元.
•	设 $R$ 是环, 则 $R$-左模构成的范畴 $R\text{-}\mathsf{Mod}$ 和 $R$-右模构成的范畴 $\mathsf{Mod}\text{-}R$ 都是 Grothendieck Abel 范畴, $R$ 是其生成元.
•	设 $(X,{\mathcal{O}}_X)$ 是赋环空间, 则所有 ${\mathcal{O}}_X$-左模构成的范畴 ${\mathcal{O}}_X\text{-}\mathsf{Mod}$ 是 Grothendieck Abel 范畴, ${⨁}_{U\subseteq X}(j_U{)}_{!}{\mathcal{O}}_U$ 是其生成元.
•	设 $(\mathcal{C},{\mathcal{O}}_{\mathcal{C}})$ 是赋环景, 则所有 ${\mathcal{O}}_{\mathcal{C}}$-左模构成的范畴 ${\mathcal{O}}_{\mathcal{C}}\text{-}\mathsf{Mod}$ 是 Grothendieck Abel 范畴, ${⨁}_{U\in \mathcal{C}}(j_U{)}_{!}{\mathcal{O}}_{{\mathcal{C}}_{/U}}$ 是其生成元.

4相关概念

•	Abel 范畴
•	内射对象
•	可表现范畴

术语翻译

Grothendieck Abel 范畴 • 英文 Grothendieck abelian category • 德文 Grothendieck-Abelschekategorie • 法文 catégorie abélienne de Grothendieck