模层

环化空间 $(X,{\mathcal{O}}_X)$ 上的模层, 也称为 ${\mathcal{O}}_X$-模, 是指 $X$ 上的 Abel 层, 并带有 ${\mathcal{O}}_X$ 的作用. 也就是说, 可以用 $X$ 上的函数 (即 ${\mathcal{O}}_X$ 的截面) 来乘以模层的截面, 而得到模层的截面. 例如, 在代数几何、微分几何等学科中, 空间 $X$ 上某个向量丛的截面构成的层都是 $X$ 上的模层, 因为可以用 $X$ 上的函数乘以向量丛的截面, 而得到该向量丛的截面. 因此, 模层也可以视为某种推广的向量丛.

1定义

定义 1.1 (模预层). 设 $X$ 是拓扑空间或景, ${\mathcal{O}}_X$ 是 $X$ 上的交换环预层. 则 ${\mathcal{O}}_X$-模预层由以下信息组成:

•	$X$ 上的 Abel 群预层 $\mathcal{E}$.

•	$X$ 上集合预层的态射$${\mathcal{O}}_X\times \mathcal{E}⟶\mathcal{E},$$使得对每个开集 $U\subset X$, 映射 ${\mathcal{O}}_X(U)\times \mathcal{E}(U)\to \mathcal{E}(U)$ 都使得 $\mathcal{E}(U)$ 成为 ${\mathcal{O}}_X(U)$-模.

${\mathcal{O}}_X$-模预层 $\mathcal{E},\mathcal{F}$ 间的态射是指 Abel 预层的态射 $f:\mathcal{E}\to \mathcal{F}$, 使得有集合预层的交换图$${\mathcal{O}}_X\times \mathcal{E}\mathcal{E}{\mathcal{O}}_X\times \mathcal{F}\mathcal{F}\text{ ,}1\times ff$$其中水平的箭头是模预层的结构中的映射.

类似地, 也可以对非交换环预层定义左模预层、右模预层.

定义 1.2 (模层). 设 $X$ 是拓扑空间或景, ${\mathcal{O}}_X$ 是 $X$ 上的交换环层. 则 ${\mathcal{O}}_X$-模层是指 ${\mathcal{O}}_X$-模预层 $\mathcal{E}$, 它作为 Abel 群预层也是 Abel 层.

此时, 也直接称 $\mathcal{E}$ 是环化空间或环化景 $(X,{\mathcal{O}}_X)$ 上的模层.

模层间的态射就是相应模预层间的态射.

类似地, 也可以对非交换环层定义左模层、右模层.

2相关概念

术语翻译

模层 • 英文 sheaf of modules • 德文 Modulgarbe (f) • 法文 faisceau de modules (m) • 日文 加群の層 (かぐんのそう) • 韩文 가군층 (加群層)