射影簇

在代数几何中, 射影簇 (或射影代数簇) 是一类代数簇, 是指射影空间 ${\mathbb{P}}_k^n$ 中由一组齐次多项式刻画出的零点集. 射影簇具有类似拓扑学中紧空间的性质. 因为射影空间可以视为仿射空间加上无穷远点得到的空间, 射影簇也可以视为仿射簇加上无穷远点得到的空间, 也可以视为仿射簇的一种紧化.

例如, 对域 $k$, 考虑平面 $k^2$ 上的抛物线$$C=\{(x,y)\in k^2\mid y=x^2+1\}.$$它可以视为仿射空间 ${\mathbb{A}}_k^2$ 中的仿射簇. 我们把平面上的点 $(x,y)$ 对应到射影空间 ${\mathbb{P}}_k^2$ 中的点 $(x:y:1)$, 这个点也与任何 $(xt:yt:t)$ 都是同一个点, 其中 $t\ne 0$. 因此, 在射影空间中刻画出曲线 $C$ 的方程不再是 $y=x^2+1$, 而应该是一个齐次多项式方程 $yz=x^2+z^2$. 这样, 在 $z=1$ 时, 它就变回原来的方程; 并且, 齐次性保证了对任意 $t\ne 0$, 点 $(x:y:1)$ 满足方程等价于 $(xt:yt:t)$ 满足方程. 我们由此得到射影空间中的射影簇$$\bar{C}=\{(x:y:z)\in {\mathbb{P}}_k^2\mid yz=x^2+z^2\}.$$它与 $C$ 相比, 只多出了一个点 $(0:1:0)$. 这可以视为 $C$ 上的沿 $y$ 轴方向的无穷远点. 加入该点后, $C$ 成为射影簇 $\bar{C}$.

一般而言, 在射影空间 ${\mathbb{P}}_k^n$ 中, 可以考虑 $n+1$ 元齐次多项式 $f_1,\dots ,f_m$ 的公共零点集 $V_{f_1,\dots ,f_m}$, 这里各 $f_i$ 的次数不必相同. 则 $V_{f_1,\dots ,f_m}$ 是射影簇, 它可以写成射影谱$$V_{f_1,\dots ,f_m}=\mathrm{Proj}(k[x_0,\dots ,x_n]/(f_1,\dots ,f_m)),$$这里右边是对 $f_1,\dots ,f_m$ 生成的齐次理想所做的商环. 所有的射影簇都可以写成此形式.

1定义

定义 1.1. 设 $k$ 是域, $X$ 是 $k$-概形. 称 $X$ 为 $k$ 上的射影簇, 如果下列等价条件成立:

•	$X$ 是 $k$-代数簇, 也是 $k$-射影概形.

•	$X$ 作为 $k$-概形同构于射影谱 $\mathrm{Proj}A$, 其中 $A$ 是某个有限生成 $k$-分次代数.

•	$X$ 同构于某个射影空间 ${\mathbb{P}}_k^n$ 的闭子概形.

术语翻译

射影簇 • 英文 projective variety • 德文 projektive Varietät (f) • 法文 variété projective (f) • 日文 射影多様体 (しゃえいたようたい)