Hodge 结构

Hodge 结构是用来模拟复代数簇的上同调的代数结构: 纯 Hodge 结构用来模拟射影光滑复代数簇的奇异上同调与 Dolbeault 上同调, 以及 Hodge 分解给出的二者的关系; 而未必射影或光滑的复代数簇的上同调理论则由混 Hodge 结构来模拟. 可以认为混 Hodge 结构是一些纯 Hodge 结构的 “结合”, 正如一般代数簇可以实现为射影光滑代数簇挖去或收缩它的子簇.

复代数簇对应的 Hodge 结构是复代数几何的重要研究对象, 包括形变在内的许多现象都可以通过 Hodge 结构来反映. Hodge 理论即是使用 Hodge 结构研究复代数几何的理论.

某种意义上 Hodge 结构已经挖掘了复代数簇上同调的全部信息, 因为 Hodge 猜想说明母题到 Hodge 结构的实现为全函子.

本页面仅给出基本定义, 更详尽的讨论参见相应主条目.

1定义

纯 Hodge 结构

主条目: 纯 Hodge 结构

定义 1.1 (纯 Hodge 结构). 权为 $\mathbf{n}$ 的纯 Hodge 结构是二元组 $(H_{\mathbb{Z}},\{H^{p,q}\})$, 其中 $H_{\mathbb{Z}}$ 是 Abel 群, $H^{p,q}$ 是 $H_{\mathbb{C}}:=H_{\mathbb{Z}}{\otimes }_{\mathbb{Z}}\mathbb{C}$ 的 $\mathbb{C}$-线性子空间, 满足指标 $p,q\in \mathbb{Z}$, $p+q=n$, $$H_{\mathbb{C}}=\underset{p+q=n}{⨁}{H}^{p,q},H^{p,q}={\bar{H}}^{p,q}.$$

定义 1.2 (代数簇对应的纯 Hodge 结构). 紧合光滑代数簇 $X$ 对应的权为 $\mathbf{n}$ 的纯 Hodge 结构是二元组 $(H^n(X,\mathbb{Z}),\{H^{p,q}(X){\}}_{p+q=n})$, 前者是奇异上同调, 后者是 Dolbeault 上同调, Hodge 分解将后者自然地视为前者的线性子空间, 并给出上述等式.

混 Hodge 结构

主条目: 混 Hodge 结构

2例子

•	$(\mathbb{Z},H^{0,0}=\mathbb{C})$ 称为平凡的纯 Hodge 结构.
•	$(2\pi \mathrm{i}\mathbb{Z},H^{-1,-1}=\mathbb{C})$ 是权为 $-2$ 的纯 Hodge 结构, 称为 Tate 扭 $\mathbb{Z}(1)$. 它的对偶是射影空间 ${\mathbb{P}}^1$ 对应的权为 $2$ 的纯 Hodge 结构.

3性质

4相关概念

•	母题
•	周期

术语翻译

Hodge 结构 • 英文 Hodge structure • 德文 Hodge-Struktur • 法文 structure de Hodge