Dolbeault 上同调

在复几何中, Dolbeault 上同调是 de Rham 上同调在复流形上的一种类比. 它利用复流形上的 $(p,q)$-形式, 来构成链复形, 以得到形如 $H^{p,q}(X)$ 的上同调.

Dolbeault 上同调是 Hodge 定理的基础.

1定义

定义 1.1 (Dolbeault 上同调). 复流形 $X$ 的 Dolbeault 复形是链复形$$({\Omega }^{p,\bullet }(X),\bar{\partial }),$$其中 ${\Omega }^{p,q}(X)$ 是 $X$ 上 $(p,q)$-形式的空间, $\bar{\partial }$ 是 Dolbeault 算子.

$X$ 的第 $(p,q)$ 阶 Dolbeault 上同调定义为 Dolbeault 复形的链上同调: $$H^{p,q}(X)=H^q({\Omega }^{p,\bullet }(X),\bar{\partial }).$$

此定义也可以推广到一般的全纯向量丛上.

定义 1.2 (Dolbeault 上同调). 复流形 $X$ 上全纯向量丛 $E$ 的 Dolbeault 复形是链复形$$({\Omega }^{p,\bullet }(E),\bar{\partial }),$$其中 ${\Omega }^{p,q}(E)$ 是向量丛 ${\Omega }^{p,q}\otimes E$ 的光滑截面构成的空间, $\bar{\partial }$ 是 Dolbeault 算子.

$X$ 的第 $(p,q)$ 阶 Dolbeault 上同调定义为 Dolbeault 复形的链上同调: $$H^{p,q}(E)=H^q({\Omega }^{p,\bullet }(E),\bar{\partial }).$$

$E$ 取为秩 $1$ 平凡丛时, $H^{p,q}(E)$ 即是 $H^{p,q}(X)$.

2Dolbeault 定理

定理 2.1 (Dolbeault). 设 $X$ 是复流形. 则$$H^{p,q}(E)\simeq H^q(X,{\Omega }^{p,0}{\otimes }_{{\mathcal{O}}_X}\mathcal{E}),$$其中右边是层上同调, ${\Omega }^p$ 是 $X$ 上全纯 $p$-形式的层, $\mathcal{E}$ 是由 $E$ 的全纯截面构成的层.

3相关概念

•	Hodge 定理
•	Serre 对偶

术语翻译

Dolbeault 上同调 • 英文 Dolbeault cohomology • 德文 Dolbeault-Kohomologie (f) • 法文 cohomologie de Dolbeault (f)