代数 de Rham 上同调

代数 de Rham 上同调de Rham 上同调代数几何中的对应物. 它在概形光滑时表现良好, 在基域特征 时是 Weil 上同调理论, 在复数域上还通过代数几何–解析几何对应直接对应于微分几何的 de Rham 上同调.

1定义

定义 1.1 (代数 de Rham 复形). 概形态射 代数 de Rham 复形, 也称 上的 de Rham 复形, 记作 , 指的是 上的 -复形其中 Kähler 微分, 映射都是外微分. 换言之, 代数 de Rham 复形是映射 Koszul 复形.

定义 1.2 (代数 de Rham 上同调). 概形态射 代数 de Rham 上同调, 也称 上的 de Rham 上同调, 记作 , 指的是复形 的导出前推 及其各阶上同调 .

下面将会看到, 只要 满足非常松的有限性条件即拟紧拟分离, 就有 .

注 1.3. 有些地方用 , 与这里的定义大相径庭. 不过在 仿射且 拟紧拟分离时它俩一致.

2性质

命题 2.1 (Hodge 到 de Rham 谱序列)., 有谱序列收敛

命题 2.2 (共轭谱序列)., 有谱序列收敛

命题 2.3 (拟凝聚性). 拟紧拟分离, 则 .

命题 2.4 (凝聚性). 紧合, Noether, 则 .

命题 2.5 (万有性质). 环同态 的 de Rham 复形是 次项为 -微分分次代数中初始者. 概形态射 的 de Rham 复形是 次项为 -微分分次代数层中初始者.

下面的定理描述了代数 de Rham 上同调在不同基域的行为. 证明见相应主条目.

定理 2.6 (代数几何–解析几何对应). 上光滑概形. 以 记其对应的复解析流形, 记自然的连续映射. 则 中有自然同构其中 指全纯微分形式复形. 特别地, 两边取整体截面, 由 Dolbeault 消解

定理 2.7 (Cartier 同构).-概形的光滑态射. 考虑相对 Frobenius 定义为其中 为拉回, 分别为 Frobenius 态射. 则 , 且对 有保持外积的自然同构这里右边到左边的映射是形式地除以 .

3例子

例 3.1 (仿射直线). 环同态 微分模, 秩一自由, 故其 de Rham 复形为-代数时, 微分是满射, 其上同调在 处是 , 处是 , 与复仿射直线的直观相符. -代数时, 其上同调在 处是 , 处是 , 此处 形式地表示 .

4推广

Kähler 微分一样, 代数 de Rham 上同调在不光滑情形表现欠佳, 此时正确的对象是导出 de Rham 上同调.

平展上同调一样, 代数 de Rham 上同调也有带系数的版本, 为此需要引入 Grothendieck 联络的概念.

5相关概念

de Rham 上同调

Kähler 微分

Hodge 理论

Hodge 上同调

Gauss–Manin 联络

Cartier 同构

de Rham–Witt 复形

晶体上同调

导出 de Rham 上同调

-de Rham 上同调

术语翻译

代数 de Rham 上同调英文 algebraic de Rham cohomology德文 algebraische De-Rham-Kohomologie法文 cohomologie algébrique de de Rham