普通同调

拓扑空间的普通同调是一种同调理论, 也就是描述其性质的一系列 Abel 群, 其对应的上同调理论为普通上同调. 给定拓扑空间 $X$ 和交换环 $A$, 有以 $A$ 为系数的普通同调群$$H_n(X;A),$$其中 $n=0,1,2,\dots$, 它们是 $A$-模.

大致来说, $H_n(X;A)$ 作为 $A$-模的秩描述了空间 $X$ 中 “$n$ 维洞” 的个数. 当 $n=0$ 时, $H_0(X;A)$ 的秩等于 $X$ 的道路连通分支数.

普通同调可以通过不同的方法来计算. 奇异同调可以计算任何空间的普通同调; 单纯同调、胞腔同调可以计算性质较好的空间的普通同调.

普通同调是一种广义同调理论, 由 Eilenberg–Mac Lane 谱 $HA$ 表出.

1定义

我们采用较为抽象的方式来定义普通同调. 若读者觉得缺乏直观, 可阅读奇异同调、单纯同调、胞腔同调的定义, 它们计算出的同调与普通同调是相同的.

定义 1.1 (普通同调). 设 $A$ 是 Abel 群. 则以 $A$ 为系数的普通同调是由 Eilenberg–Mac Lane 谱 $HA$ 所表出的广义同调理论.

术语翻译

普通同调 • 英文 ordinary homology