Hochschild 同调

Hochshcild 同调是对交换环 $R$ 上结合代数 $A$ 定义的同调理论, 记作 $\mathrm{HH}(A/R)$ 或 $\mathrm{HH}(A)$. 直观地看, Hochschild 同调是沿圆周 $S^1$ 做导出张量积图中的张量积是 $A$-左模、右模的张量积. 因为 $A{\otimes }_{A}A\simeq A$, 所以该张量积与图中 $A$ 的个数无关.

上述定义也可以自然地推广到高阶代数中. 对 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-环同态 $R\to A$, Hochschild 同调 $\mathrm{HH}(A/R)$ 就是 $A$ 在圆周上的余极限, 它是万有的带有圆周作用的 $A$-代数. 用这一万有性质, 可以证明 Hochschild 同调的许多函子性与基变换的结论.

1定义

对结合代数

定义 1.1. 对交换环 $R$ (一般取为域) 和 $R$-结合代数 $A$, 其 Hochschild 同调 $\mathrm{HH}(A/R)$ 是链复形$$A\underset{A^{\mathrm{op}}\underset{R}{\otimes }A}{\stackrel{\mathbb{L}}{\otimes }}{A}^{\mathrm{op}}$$对一般的 $A$-双模 $M$, 亦可定义 Hochschild 同调 $\mathrm{HH}(A/R,M)$ 为$$A\underset{A^{\mathrm{op}}\underset{R}{\otimes }A}{\stackrel{\mathbb{L}}{\otimes }}M.$$

对 ${\mathbb{E}}_1$-代数

(...)

对 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-代数

以下所述的 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-环均在谱范畴 $\mathsf{Sp}$ 中.

定义 1.2 (Hochschild 同调). 设 $R\to A$ 是 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-环同态, 其 Hochschild 同调 $\mathrm{HH}(A/R)$ 为 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-$R$-代数范畴中的余幂 $A\otimes \mathbb{T}$, 即常值图表 $\mathbb{T}\to A$ 在此范畴中的余极限. 这里 $\mathbb{T}$ 表示圆周.

当 $R=\mathbb{Z}$ 时此同调通常简写为 $\mathrm{HH}(A)$, 当 $R$ 为球谱 $\mathbb{S}$ 时, 此同调称为拓扑 Hochschild 同调.

定义 1.3 (圆周作用). $\mathrm{HH}(A/R)$ 带有典范的 $\mathbb{T}$-作用: 事实上, 它是以下图表$$\ast \{{\mathbb{E}}_{\infty }\text{-}R\text{-代数}\}\mathrm{B}\mathbb{T}\ast \mapsto A$$的水平映射沿映射 $\ast \to \mathrm{B}\mathbb{T}$ 的左 Kan 扩张在一点处的取值.

由 Kan 扩张的万有性质, Hochschild 同调也可用以下万有性质来定义.

定义 1.4 (万有定义). 对 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-环同态 $R\to A$, 考虑以下二元组构成的范畴:

•	一个带有 $\mathbb{T}$-作用的 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-$R$-代数 $B$, 即函子 $\mathrm{B}\mathbb{T}\to \{{\mathbb{E}}_{\infty }\text{-}R\text{-代数}\}$, 使其在一点处取值为 $B$;

•	一个 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-$R$-代数同态 $A\to B$ (它未必与 $\mathbb{T}$-作用相容).

Hochschild 同调 $\mathrm{HH}(A/R)$ 为此范畴中的始对象.

2性质

基本性质

松幺半结构, 基变换……

杠消解

HKR 滤链

3例子

4相关概念

术语翻译

Hochschild 同调 • 英文 Hochschild homology • 德文 Hochschild-Homologie (f) • 法文 homologie de Hochschild (f)