$E_{n}$ -代数

$E_{n}$ -代数, 也就是 $E_{n}$ 算畴上的 $(\infty, 1)$ -算畴代数, 是交换幺半群在高阶代数中的推广. 大致来说, $E_{n}$ -代数是某个对称幺半 $(\infty, 1)$ -范畴 $C$ 中的对象 $X$ , 带有二元运算 $X \otimes X \to X$ , 并满足在不超过 $n$ 阶同伦的意义下相容的交换律与结合律. 例如, 在拓扑空间范畴这一对称幺半 $(\infty, 1)$ -范畴中, 拓扑空间的 $n$ 阶环路空间就有 $E_{n}$ -代数的结构.

另一方面, $E_{n}$ -代数也可以视为带有 $n$ 个相容的结合运算的结构 (命题 3.2). 对于 $n$ 阶环路空间, 在不同方向上的复合就是这 $n$ 个运算.

当底范畴 $C$ 的同伦层级小于 $n$ 时, $E_{n}$ -代数等价于交换代数 (命题 3.1). 这一事实是 Eckmann–Hilton 论证的推广, 后者大致表明了集合范畴中的 $E_{2}$ -代数是交换幺半群.

$E_{n}$ -代数使用 $(\infty, 1)$ -算畴的语言来严格定义, 具体来说, 某个对称幺半 $(\infty, 1)$ -范畴 $C$ 中的 $E_{n}$ -代数就是其中 $E_{n}$ 算畴的算畴代数.

1定义

定义 1.1 ( $E_{n}$ -代数). 对称幺半 $(\infty, 1)$ -范畴 $C$ 中的 $E_{n}$ -代数是 $E_{n}$ 算畴在其中的 $(\infty, 1)$ -算畴代数.

•	对带点拓扑空间范畴的对象 $X$ , $X$ 上的 $n$ 阶环路空间 $Ω^{n} X$ 是 $E_{n}$ -代数. 反之可以证明, 任意群状 $E_{n}$ -代数均弱同伦等价于某个 $Ω^{n} X$ .

•	对称幺半 $(\infty, 1)$ -范畴 $C$ 中的 $E_{0}$ -代数就是其中的对象 $X$ 配备态射 $1 \to X$ , 其中 $1$ 为 $C$ 的单位对象.

•	$E_{1}$ -代数等价于结合代数, 即 $A_{\infty}$ -代数.

•	在集合范畴中, $E_{1}$ -代数等价于幺半群; 而对 $n \geq 2$ , $E_{n}$ -代数等价于交换幺半群 (在命题 3.1 的观点下, 这是因为集合范畴是 $1$ -范畴).

•	作为上一例的推广, 积幺半范畴中的 $E_{1}$ -代数等价于其中的幺半对象, 而对 $n \geq 2$ , $E_{n}$ -代数等价于交换幺半对象.

•	在范畴的范畴 (视为 $(2, 1)$ -范畴中), $E_{1}$ -代数等价于幺半范畴; $E_{2}$ -代数等价于辫幺半范畴; 而对 $n \geq 3$ , $E_{n}$ -代数等价于对称幺半范畴 (在命题 3.1 的观点下, 这是因为范畴的范畴是 $2$ -范畴).

$E_{n}$ -代数描述了交换律与结合律不超过 $n$ 阶的相容性. 下面的命题说明如果范畴没有更高阶的结构, 则 $E_{n}$ -代数等价于交换代数, 即 $E_{\infty}$ -代数.

命题 3.1. 如对称幺半 $(\infty, 1)$ -范畴 $C$ 是 $(n - 1)$ -范畴, 则其上 $E_{n}$ -代数的范畴 $E_{n} - Alg (C)$ 等价于 $E_{\infty}$ -代数的范畴 $E_{\infty} - Alg (C)$ .

以下的命题表明了 $E_{n}$ -代数也可以视为带有 $n$ 个相容的结合运算 (即 $E_{1}$ -代数的结构) 的结构.

命题 3.2. 对自然数 $n, n^{'}$ , 有范畴等价 $E_{n} - Alg (E_{n^{'}} - Alg (C)) ≃ E_{n + n^{'}} - Alg (C) .$

术语翻译

$E_{n}$ -代数 • 英文 $E_{n}$ -algebra • 法文 $E_{n}$ -algèbre (f)