En 算畴

${\mathbb{E}}_{\mathbf{n}}$ 算畴, 也称为 $n$ 维小圆盘算畴或小方体算畴, 是一种 $(\infty ,1)$-算畴, 也可以视为拓扑算畴, 它是交换算畴 $\mathsf{Comm}$ 在高阶代数中的推广. 大致来说, ${\mathbb{E}}_n$-代数类似于交换代数, 它在同伦意义下满足交换律, 而这些同伦又满足高阶同伦意义下的相容条件, 直至 $n$ 阶同伦为止, 不要求满足更高阶的相容条件. 当 $n$ 趋于无穷时, 我们有 ${\mathbb{E}}_{\infty }$ 算畴, 而 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-代数就是在同伦意义下完全满足交换律的代数.

具体来说, ${\mathbb{E}}_n$ 中的多元运算是多个 $n$ 维小立方体到一个大的 $n$ 维立方体的嵌入, 而多元运算的复合则是这些嵌入的复合.

例如, 拓扑空间的 $n$ 阶环路空间带有 ${\mathbb{E}}_n$-代数的结构.

1定义

定义 1.1 (立方体与矩形嵌入). 设 $n$ 为自然数. 记$${\square }^n=]-1,1{[}^n$$为 $n$ 维开立方体. 若映射 $f:{\square }^n\to {\square }^n$ 形如$$f(x_1,\dots ,x_n)=(a_1{x}_1+b_1,\dots ,a_n{x}_n+b_n),a_i>0$$就称 $f$ 为矩形嵌入.

更一般的, 若 $S$ 是有限集, $f$ 为 ${\square }^n\times S\to {\square }^n$ 的单射, 且 $f$ 限制在每个 ${\square }^n\times \{s\}(s\in S)$ 上都是矩形嵌入, 就说 $f$ 是矩形嵌入.

记 $\mathrm{Rect}({\square }^n\times S,{\square }^n)$ 为所有 ${\square }^n\times S\to {\square }^n$ 的矩形嵌入的集合, 并为其配备 $({\mathbb{R}}^{2n}{)}^S$ 的子空间拓扑.

定义 1.2 (${\mathbb{E}}_n$ 算畴). 定义拓扑算畴 ${\mathbb{E}}_n$ 如下.

•	${\mathbb{E}}_n$ 的 $k$ 元运算空间为 ${\mathbb{E}}_n(k)=\mathrm{Rect}({\square }^n\times \{1,\dots ,k\},{\square }^n)$.

•	恒同映射 $1$ 由 ${\mathrm{id}}_{{\square }^n}$ 给出.

•	多元运算的复合由矩形嵌入的复合自然地给出.

将 ${\mathbb{E}}_n$ 通过算畴脉而视为 $(\infty ,1)$-算畴, 称为 ${\mathbb{E}}_{\mathbf{n}}$ 算畴.

2性质

命题 2.1. 对任意自然数 $n,n^{\prime }$, 张量积算畴 ${\mathbb{E}}_n\otimes {\mathbb{E}}_{n^{\prime }}$ 等价于 ${\mathbb{E}}_{n+n^{\prime }}$.

3例子

•	$n=0$ 时, ${\mathbb{E}}_0$ 是平凡算畴, 即多元运算只有恒同运算的算畴.

•	$n=1$ 时, ${\mathbb{E}}_1$ 等价于 ${\mathbb{A}}_{\infty }$ 算畴, 也等价于结合算畴 $\mathsf{Assoc}$.

术语翻译

${\mathbb{E}}_n$ 算畴 • 英文 ${\mathbb{E}}_n$ operad • 法文 ${\mathbb{E}}_n$ opérade (f)

小圆盘算畴 • 英文 little disks operad

小方体算畴 • 英文 little cubes operad