代数 K 理论

代数 $\mathbf{K}$ 理论是环、概形, 乃至稳定 $\infty$-范畴的拓扑不变量, 取值在谱范畴中, 是 Grothendieck 群 $K_0$ 的高阶推广. 代数 $K$ 理论的计算极为困难, 但它所蕴藏的信息又十分深刻. 代数几何中它与母题上同调密切相关, 数论中亦猜想它反映 $L$ 函数的特殊值.

1历史

人们对代数 $K$ 理论的追求始于对拓扑 $K$ 理论的类比, 试图把 Grothendieck 群推广为一整个上同调理论. 然而代数对象的刚性令当时人举步维艰. 在 Grothendieck 定义 $K_0$ 群之后的十几年, Hyman Bass 定义了 $K_1$ 群, John Milnor 定义了 $K_2$ 群. 他们的定义都是手动的, 直接使用环的代数信息, 看不到推广到更高阶的希望, 不过 Bass 通过 $K_0$ 和 $K_1$ 的一个环论性质发现了负数阶 $K$ 群的定义. 直到 1971 年, Daniel Quillen 才首次定义环的高阶代数 $K$ 理论, 并对有限域做了具体计算, 是为 Quillen $+$ 构造. 后来 Quillen 本人的 $Q$ 构造把它推广到正合范畴, Friedhelm Waldhausen 的 $S$ 构造又把它推广到 Waldhausen 范畴.

至此, 环的代数 $K$ 理论有了正确的定义, 但人们仍不知道如何证明其若干基本性质, 亦难以把它下降到概形. 直到 1990 年, Robert Wayne Thomason 受他死去的朋友 Thomas Trobaugh 托梦之启发, 把 Waldhausen $S$ 构造用在完美复形范畴上, 才得到了概形的 $K$ 理论, 并证明了一批基本性质, 例如正则概形负数阶 $K$ 群为 $0$, 以及 Nisnevich 下降等. 到了 21 世纪, 在 André Joyal、Jacob Lurie 等人把 $\infty$-范畴的基本理论发展完善之后, 代数 $K$ 理论又有了接近 Grothendieck $K_0$ 原始精神的定义: 范畴的万有加性不变量. 它由 Clark Barwick 对 Waldhausen $\infty$-范畴给出, 以及由 Andrew Blumberg、David Gepner、Goncalo Tabuada 对稳定 $\infty$-范畴给出.

以下主要讲述代数 $K$ 理论的万有定义及其一般性质, 更具体的构造和性质在 Quillen $+$ 构造、Quillen $Q$ 构造、Waldhausen $S$ 构造等条目给出.

2定义

$K_0$ 群

主条目: K_0 群

定义 2.1 (环的 $K_0$ 群). 对环 $R$, 记 $\mathsf{Proj}(R)$ 是 $R$ 上有限生成投射模的范畴, ${\pi }_0\mathsf{Proj}(R)$ 为它的同构类, 投射模的直和为它赋予了交换幺半群的结构.

环 $R$ 的 ${\mathbf{K}}_0$ 群是此幺半群的群化, 记作 $K_0(R)$. 换言之, $K_0(R)$ 是 $\mathsf{Proj}(R)$ 这一加性范畴的 Grothendieck 群.

环的 $K$ 理论

主条目: Quillen + 构造

以上定义可以推广到一整套 $K$ 理论: $K_0$ 群是先取同构类再取群化, 整个 $K$ 理论则是对上述范畴直接做群化, 变成 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-群.

定义 2.2 (环的 $K$ 理论). 记号同定义 2.1, 范畴 $\mathsf{Proj}(R)$ 的所有对象和同构, 构成一个群胚, 直和结构使它成为幺半群胚.

环 $R$ 的 $\mathbf{K}$ 理论是此幺半群胚的 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-群化, 记作 $K(R)$, 它的 $n$ 阶同伦群记作 $K_n(R)$.

不过群化是使用伴随函子的抽象定义, 更具体的定义可以参见 Quillen $+$ 构造.

连合 $K$ 理论

连合 $K$ 理论是 Waldhausen $\infty$-范畴的不变量, 取值为连合谱, 即 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-群.

定义 2.3. 连合 $\mathbf{K}$ 理论是 Waldhausen $\infty$-范畴的范畴 ${\mathsf{Wald}}_{\infty }$ 到生象范畴 $\mathsf{Ani}$ 的函子$$K:{\mathsf{Wald}}_{\infty }\to \mathsf{Ani},$$附带自然变换 $\mathrm{Obj}\to K$, 其中 $\mathrm{Obj}(\mathcal{C})$ 指的是只看 $\mathcal{C}$ 中同构得到的 $\infty$-群胚, 满足:

群状

对 $\mathcal{C}\in {\mathsf{Wald}}_{\infty }$, 余积 $\bigsqcup :\mathcal{C}\times \mathcal{C}\to \mathcal{C}$ 以及含入 $\mathcal{C}\times 0,0\times \mathcal{C}\subseteq \mathcal{C}\times \mathcal{C}$ 自然给出的 $K(\mathcal{C})$ 上 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-幺半群结构是 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-群.

加性

对 $\mathcal{C}\in {\mathsf{Wald}}_{\infty }$, 令 ${\mathsf{F}}_1(\mathcal{C})=\{f\in \mathsf{Fun}({\Delta }^1,\mathcal{C})\mid \mathrm{h}(f)\in {\mathcal{C}}_{†}\}$ 为 $\mathcal{C}$ 中余纤维化组成的范畴, 视为 $\mathsf{Fun}({\Delta }^1,\mathcal{C})$ 的满子范畴. 称 ${\mathsf{F}}_1(\mathcal{C})$ 的态射 $(X\to Y)\to (X^{\prime }\to Y^{\prime })$ 为余纤维化, 指的是它给出的 $X\to X^{\prime }$, $Y\to Y^{\prime }$, $Y/X\to Y^{\prime }/X^{\prime }$ 都是余纤维化. 则函子$${\mathsf{F}}_1(\mathcal{C})\to \mathcal{C}\times \mathcal{C},$$$$(X\to Y)\mapsto (X,Y/X),$$诱导同构 $K({\mathsf{F}}_1(\mathcal{C}))\to K(\mathcal{C})\times K(\mathcal{C})$.

且是满足这些、附带从 $\mathrm{Obj}$ 来的自然变换中初始者.

注 2.4. 注意 ${\mathsf{Wald}}_{\infty }$ 为紧生成, 记其紧对象子范畴为 ${\mathsf{Wald}}_{\infty }^{\omega }$, 则函子 $\mathrm{Obj}:{\mathsf{Wald}}_{\infty }\to \mathsf{Ani}$ 是它在 ${\mathsf{Wald}}_{\infty }^{\omega }$ 上限制的左 Kan 扩张. 不难发现范畴 $\mathsf{Fun}({\mathsf{Wald}}_{\infty }^{\omega },\mathsf{Ani})$ 与其中群状加性函子组成的满子范畴 ${\mathsf{Fun}}_{+}({\mathsf{Wald}}_{\infty }^{\omega },\mathsf{Ani})$ 均为可表现, 含入函子可达且保持极限. 于是由伴随函子定理即得连合 $K$ 理论在 ${\mathsf{Wald}}_{\infty }^{\omega }$ 上的存在性, 再左 Kan 扩张即得其存在性. 这样还顺便得到它与滤余极限交换.

注 2.5. 定义 2.3 中的同构 $K({\mathsf{F}}_1(\mathcal{C}))\to K(\mathcal{C})\times K(\mathcal{C})$ 的逆由 $\mathcal{C}\times \mathcal{C}\to {\mathsf{F}}_1(\mathcal{C})$, $(X,Z)\mapsto (X\to X\bigsqcup Z)$ 诱导, 因为该函子是 $(X\to Y)\mapsto (X,Y/X)$ 的右逆.

不连合 $K$ 理论

不连合 $K$ 理论是幂等封闭稳定 $\infty$-范畴的不变量, 取值为谱.

3性质

命题 3.1. 设 $F,F^{\prime },F^{\prime \prime }:\mathcal{D}\to \mathcal{C}$ 是 Waldhausen $\infty$-范畴的正合函子, 且有对 $\mathcal{D}$ 的对象自然的余纤维列 $F^{\prime }\to F\to F^{\prime \prime }$. 则它们诱导的 $K$ 理论映射满足 $K(F)=K(F^{\prime })+K(F^{\prime \prime })$.

证明. 把 $\mathcal{D}$ 化归到万有情形, 可设 $\mathcal{D}={\mathsf{F}}_1(\mathcal{C})$, $F^{\prime }(X\to Y)=X$, $F(X\to Y)=Y$, $F^{\prime \prime }(X\to Y)=Y/X$. 这样它便是定义 2.3 中 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-群结构的定义和注 2.5 合起来的推论.

$\square$

推论 3.2. 设 $\mathcal{C}$ 是 Waldhausen $\infty$-范畴, 满足形如 $X\to 0$ 的映射都是余纤维化. 以 $\Sigma X$ 记 $0\leftarrow X\to 0$ 的推出, 不难发现 $\Sigma :\mathcal{C}\to \mathcal{C}$ 是 Waldhausen 范畴的正合函子. 则它诱导的 $K$ 理论映射 $K(\Sigma )=-1$. 特别地, 如以 $\mathsf{SW}(\mathcal{C})$ 记其 Spanier–Whitehead 构造, 即图表$$\mathcal{C}\stackrel{\Sigma }{\to }\mathcal{C}\stackrel{\Sigma }{\to }\cdots$$的余极限, 则 $K(\mathsf{SW}(\mathcal{C}))=K(\mathcal{C})$.

证明. 这是命题 3.1 的 $F^{\prime }=\mathrm{id}$, $F=0$ 情形.

$\square$

命题 3.3. 设 $\mathcal{C},\mathcal{D},\mathcal{E}$ 是 Waldhausen $\infty$-范畴, 函子 $p:\mathcal{E}\to \mathcal{C}$, $q:\mathcal{E}\to \mathcal{D}$, $i:\mathcal{C}\to \mathcal{E}$, $j:\mathcal{D}\to \mathcal{E}$ 满足:

•	$p\circ i=q\circ j=\mathrm{id}$, $p\circ j=q\circ i=0$.
•	$i\circ p\to \mathrm{id}\to j\circ q$ 是 $\mathcal{E}$ 到自身的函子的余纤维列.

则 $K(\mathcal{E})=K(\mathcal{C})\times K(\mathcal{D})$. 特别地, 取 $\mathcal{E}=\mathcal{C}\times \mathcal{D}$, $p,q$ 和 $i,j$ 分别为两个投影和两个含入, 即得 $K(\mathcal{C}\times \mathcal{D})=K(\mathcal{C})\times K(\mathcal{D})$.

证明. $p,q$ 诱导 $K$ 理论的映射$$(K(p),K(q)):K(\mathcal{E})\to K(\mathcal{C})\times K(\mathcal{D});$$$i,j$ 诱导 $K$ 理论的映射$$K(i)+K(j):K(\mathcal{C})\times K(\mathcal{D})\to K(\mathcal{E}).$$由于 $p\circ i=q\circ j=\mathrm{id}$, $p\circ j=q\circ i=0$, 显然有 $(K(p),K(q))\circ (K(i)+K(j))=\mathrm{id}$. 另一方面, 由条件以及命题 3.1, $K(i\circ p)+K(j\circ q)=\mathrm{id}$, 即 $(K(i)+K(j))\circ (K(p),K(q))=\mathrm{id}$.

$\square$

4例子

(...)

5相关概念

术语翻译

代数 $K$ 理论 • 英文 algebraic $K$-theory • 德文 algebraische $K$-Theorie • 法文 $K$-théorie algebrique • 拉丁文 $K$-theoria algebraica