L 函数

在数学中, 尤其是数论中, $L$ 函数指的是一些对象给出的 Dirichlet 级数在 $\mathbb{C}$ 上的解析延拓. 它通常对这些对象有良好的刻画, 包含了丰富的信息.

$L$ 函数一般是指用一类方法构造出来的函数, 但是它也可以有公理化, 见 Selberg 类.

1信息

要获得一些对象的信息, 通常会研究一个 $L$ 函数如下的性质:

1.	解析延拓.
2.	欧拉积的表示.
3.	零点和极点: 比如 Riemann 猜想, Weil 猜想和 Birch–Swinnerton-Dyer 猜想.
4.	函数方程: 比如 Tate 论题.
5.	在特殊点处的取值, 而这可以与代数 $K$ 理论发生联系.

也会研究不同的 $L$ 函数之间的联系, 比如模性定理, Langlands 纲领等等.

2例子

解析构造

Riemann $\zeta$ 函数

主条目: Riemann $\zeta$ 函数.

Dirichlet $L$ 函数

主条目: Dirichlet $L$ 函数.

Hecke $L$ 函数

主条目: Hecke $L$ 函数.

自守 $L$ 函数

主条目: 自守 $L$ 函数.

代数和数论构造

Dedekind $\zeta$ 函数

主条目: Dedekind $\zeta$ 函数.

Artin $L$ 函数

主条目: Artin $L$ 函数.

Hasse–Weil $L$ 函数

主条目: Hasse–Weil $L$ 函数.

母题 $L$ 函数

主条目: 母题 $L$ 函数.

$p$ 进类似

主条目: $p$ 进 $L$ 函数.

术语翻译

$L$ 函数 • 英文 $L$-function • 德文 $L$-Funktion • 法文 fonction $L$