Riemann ζ 函数

约定. 在本文中,

• 下标含 $p$ 的求和与求积, 其中的 $p$ 均只对素数进行.
• $s$ 表示以 $\sigma$ 为横坐标、$t$ 为纵坐标的复数.
• ${\rho }_k$ 表示以 ${\beta }_k$ 为横坐标、${\gamma }_k$ 为纵坐标的 $\zeta (s)$ 零点.

Riemann $\mathbf{\zeta }$ 函数起源于对素数分布的研究, 其意图于使用一个函数以反映所有素数位点的信息 (命题  2.5).

有时也将 Riemann $\zeta$ 函数简称为 $\mathbf{\zeta }$ 函数.

1定义

定义 1.1. Riemann $\mathbf{\zeta }$ 函数是在区域 $\sigma >1$ 上绝对收敛级数$$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^s}$$在 $\mathbb{C}$ 上的解析延拓, 是 $\mathbb{C}$ 上的亚纯函数.

注 1.2. 上述解析延拓可以通过 $\xi$ 函数实现 (命题 2.2).

2基本性质

函数方程

参见: Hurwitz zeta 函数

$\zeta$ 函数满足函数方程 (1).

定义 2.1. 定义函数 $\xi$ 为$$\xi (s)=\frac{1}{2}{\pi }^{-\frac{s}{2}}s(s-1)\Gamma (\frac{s}{2})\zeta (s).$$其中 $\Gamma$ 表示 $\Gamma$ 函数.

命题 2.2. 使用 $\zeta$ 函数的级数形式可将 $\xi$ 定义在区域 $\sigma >1$ 上, 其可解析延拓至 $\mathbb{C}$ 上的全纯函数, 满足方程$$\xi (s)=\xi (1-s).$$

推论 2.3. $\zeta$ 函数可解析延拓至 $\mathbb{C}$ 上的亚纯函数, 满足函数方程$$\zeta (s)=2^s{\pi }^{s-1}\sin (\frac{\pi s}{2})\Gamma (1-s)\zeta (1-s).$$(1)$$\zeta (1-s)=2(2\pi {)}^{-s}\cos (\frac{\pi s}{2})\Gamma (s)\zeta (s).$$(2)

此外, 可以显式地看出如何将其解析延拓到 $\Re (z)>0$:

定义$$\Psi (s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\int }_n^{n+1}\left(\frac{1}{n^s}-\frac{1}{x^s}\right)dx.$$

命题 2.4. $\Psi (s)$ 的定义式中, 求和对 $\sigma >0$ 绝对收敛, 定义了该区域上的全纯函数. 特别的, 在区域 $\sigma >1$ 中, 恒成立着$$\Psi (s)=\zeta (s)-\frac{1}{s-1}.$$

因证明是简明的数学分析技巧而在此省略.

(...)

其它形式

命题 2.5 (Euler 乘积). $\zeta$ 函数可表示为无穷乘积, 称为 Euler 乘积: $$\zeta (s)=\prod _p\frac{1}{1-p^{-s}}.$$其中 $p$ 取遍所有素数.

证明. 我们只证明左右在 $s>1$ 是实数时取等. 因二者都是全纯函数, 这等式成为整个定义域 $\sigma >1$ 上的等式. 根据算术基本定理, 不超过 $N$ 的正整数可以被写成不超过 $N$ 的素数乘积, 假设这些素数中出现的最大幂次为 $M$, 得到$$\begin{array}{rl}\sum _{n=1}^N\frac{1}{n^s}& \le \prod _{p\le N}\left(1+\frac{1}{p^s}+\cdots +\frac{1}{p^{Ms}}\right)\\ & \le \prod _p\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{p^{ns}}=\prod _p\frac{1}{1-p^{-s}}.\end{array}$$于是令 $N\to +\infty$ 即得到一侧不等式.

另一侧, 仍然是算数基本定理, 由分解的唯一性, 我们得到$$\prod _{p\le N}\left(1+\frac{1}{p^s}+\cdots +\frac{1}{p^{Ms}}\right)\le \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^s}$$后令 $N,M\to +\infty$ 得.

$\square$

由此可以推出如下结论:

命题 2.6. 素数的倒数和 ${\sum }_p{p}^{-1}$ 发散.

证明. 利用 Euler 乘积, 我们知道对实数 $s>1$ 有$$\log \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^s}=\sum _p\log \left(\frac{1}{1-p^{-s}}\right)\le 2\sum _p{p}^{-s}.$$于是结合调和级数的发散性, 素数的倒数和发散.

$\square$

(...)

特殊值

参见: Bernoulli 数

事实上 $\zeta (s)$ 在 $s$ 为正偶数时的值可以和 Bernoulli 数建立联系:

定理 2.7. 当 $k\in {\mathbb{Z}}^{+}$ 时, 总有: $$\zeta (2k)=(-1{)}^{k+1}\frac{(2\pi {)}^{2k}{B}_{2k}}{2(2k)!}$$

估计与渐近行为

现在设 $\chi (s)=\zeta (s)/\zeta (1-s)$, 则根据 (2), 可知:

$$\chi (s)=(2\pi {)}^s(e^{\pi is/2}+e^{-\pi is/2}{)}^{-1}/\Gamma (s)$$

根据 Stirling 公式可知当 $\sigma$ 固定、$t\ge 2$ 时:

$$\begin{array}{rl}\log \Gamma (s)& =\left(s-\frac{1}{2}\right)\log (it)-it+\frac{1}{2}\log 2\pi +O\left(\frac{1}{t}\right)\\ & =\left(s-\frac{1}{2}\right)\log t+\frac{i\pi s}{2}-\frac{\pi i}{4}-it+\frac{1}{2}\log 2\pi +O\left(\frac{1}{t}\right)\end{array}$$

另一方面:

$$\begin{array}{rl}\log (e^{\pi is/2}+e^{-\pi is/2})& =-\frac{\pi is}{2}+\log (1+e^{\pi is})\\ & =-\frac{\pi is}{2}+\log (1+e^{\pi i\sigma }{e}^{-\pi t})\\ & =-\frac{\pi is}{2}+O(e^{-\pi t})\end{array}$$

将这些东西结合起来, 就有:

$$\log \chi (s)=\left(s-\frac{1}{2}\right)\log \frac{2\pi }{t}+it+\frac{i\pi }{4}+O\left(\frac{1}{t}\right)$$

对两侧求指数, 便可发现当 $\sigma$ 固定、$t\ge 2$ 时:

$$\chi (s)={\left(\frac{t}{2\pi }\right)}^{1/2-s}{e}^{i(t+\pi /4)}\left\{1+O\left(\frac{1}{t}\right)\right\}$$(3)

利用这一点, 我们就能得到结论:

定理 2.8 ($\zeta (s)$ 的渐近函数方程). 当 $\sigma$ 位于固定区间内、$|t|\ge 2$ 时: $$|\zeta (s)|\asymp |t{|}^{1/2-\sigma }|\zeta (1-s)|$$

现在将定理 2.8 和 Phragmén–Lindelöf 定理相结合, 便有:

推论 2.9. 对于所有固定的 $A>0$, 当 $\sigma \ge -A,|t|\ge 2$ 时一致成立 $\zeta (s)=O(|t{|}^{1/2+A})$.

现在将推论 2.9 和 Borel–Carathéodory 定理相结合, 即可得到 ${\zeta }^{\prime }/\zeta (s)$ 的局部展开式:

定理 2.10. 若 $\rho$ 表示满足 $|\rho -2-it|\le 6$ 的 $\zeta (s)$ 零点, 则当 $-1\le \sigma \le 2$ 时总有: $$\frac{{\zeta }^{\prime }}{\zeta }(s)=\frac{-1}{s-1}+\sum _{\rho }\frac{1}{s-\rho }+O\{\log (|t|+2)\}$$

3零点分布

事实上 $\zeta (s)$ 的函数方程直接表明了 $\zeta (s)$ 的零点分成下面两类:

$$\{\begin{array}{l}s=-2,-4,\dots \\ 0\le \sigma \le 1\end{array}$$

其中第一种被称为 $\zeta (s)$ 的平凡零点, 而第二种被称作非平凡零点.

非平凡零点的个数

参见: Riemann–von Mangoldt 公式

如果用 $N(T)$ 来表示满足 $0\le \Re \rho \le 1$、$0<\Im \rho \le T$ 的 $\zeta (s)$ 零点 $\rho$ 的个数, 则有:

定理 3.1 (Riemann–von Mangoldt). 当 $T\ge 2$ 时成立: $$N(T)=\frac{T}{2\pi }\log \frac{T}{2\pi }-\frac{T}{2\pi }+O(\log T)$$

将此结论与抽屉原理结合, 即可证明:

推论 3.2. 当 $T\ge 2$ 时总是存在 $T^{\prime }\in [T-1,T+1]$ 使得: $$\frac{{\zeta }^{\prime }}{\zeta }(\sigma +i{T}^{\prime })=O({\log }^{2}T)$$对所有 $-1\le \sigma \le 2$ 一致成立.

证明.

证明. 由定理 3.1 可知存在常数 $C>0$ 使 $T\ge 2$ 时总有: $$N(T+1)-N(T-1)\le C\log T$$这意味着当我们把 $[T-1,T+1]$ 分解成 $\lceil 2C\log T\rceil$ 个区间时总能找到一个长度为 $\gg (\log T{)}^{-1}$ 的区间使得此区间内不含 $\zeta (s)$ 的零点纵坐标, 因此当我们让 $T^{\prime }$ 落在此区间的中央时总有: $$\frac{{\zeta }^{\prime }}{\zeta }(\sigma +i{T}^{\prime })\ll \sum _{|\rho -2-i{T}^{\prime }|\le 6}\log T=O({\log }^{2}T)$$

$\square$

非零区域 $\sigma \ge 1$

$\zeta (s)$ Euler 乘积的绝对收敛性表明 $\sigma >1$ 时 $\zeta$ 函数没有零点, 但通过一些初等的技巧可以将这个非零区域进行拓展:

引理 3.3 (de la Vallée Poussin). 若 $\{a_n{\}}_{n\ge 1}$ 非负且 Dirichlet 级数$$F(s)=\sum _{n\ge 1}\frac{a_n}{n^s}$$的收敛横坐标为 ${\sigma }_c$, 则对于所有的 $\sigma >{\sigma }_c$ 均有: $$3F(\sigma )+4F(\sigma +it)+F(\sigma +2it)\ge 0$$

证明. 设 ${\theta }_n=t\log n$, 则有: $$3F(\sigma )+4F(\sigma +it)+F(\sigma +2it)=\sum _{n\ge 1}\frac{a_n}{n^{\sigma }}[3+4\cos {\theta }_n+\cos 2{\theta }_n]\ge 0$$其中最后一个不等号是由于$$3+4\cos {\theta }_n+\cos 2{\theta }_n=2({\cos }^2{\theta }_n+2\cos {\theta }_n+1)=2(1+\cos {\theta }_n{)}^2$$

$\square$

定理 3.4. $\sigma \ge 1$ 时 $\zeta (s)\ne 0$.

证明. 若不然, 设 $\zeta (1+i{t}_0)=0,t_0\ne 0$, 由局部的全纯性, 存在常数 $C_1>0,{\epsilon }_1>0$ 使$$|\zeta (\sigma +i{t}_0)|<C_1|\sigma -1|,|\sigma -1|\le {\epsilon }_1,\sigma \in \mathbb{R}.$$另一方面 $s=1$ 是极点, 因此存在常数 $C_2>0,{\epsilon }_2>0$ 使$$|\zeta (\sigma )|<C_2|\sigma -1{|}^{-1},|\sigma -1|\le {\epsilon }_2,\sigma \in \mathbb{R}.$$

下面进行计算, 首先对 $s=\sigma +it,\sigma ,t\in \mathbb{R}$, 计算实部得到$$\mathrm{Re}(n^{-s})=n^{-\sigma }\cos (t\log n).$$而 Euler 乘积和对数的 Taylor 展开告诉我们$$\log \zeta (s)=\sum _p\log \left(\frac{1}{1-p^{-s}}\right)=\sum _p\sum _{m=1}^{\infty }\frac{p^{-ms}}{m}.$$

很明显 $\log \zeta (s)$ 是个具有非负系数的 Dirichlet 级数, 所以我们可以套用引理 3.3 得到:

$$3\log \zeta (\sigma )+4\log \zeta (\sigma +it)+\log \zeta (\sigma +2it)\ge 0$$

对两侧求指数, 即得:

$$|{\zeta }^3(\sigma ){\zeta }^4(\sigma +it)\zeta (\sigma +2it)|\ge 1$$

但是由证明开头的估计, 应该有

$$\left|{\zeta }^3(\sigma ){\zeta }^4(\sigma +i{t}_0)\zeta (\sigma +2i{t}_0)\right|<C_3|\sigma -1|\to 0,\sigma \to 1^{+}$$

这与它始终 $\ge 1$ 矛盾.

$\square$

如果我们对 $F(s)=-{\zeta }^{\prime }/\zeta (s)$ 套用引理 3.3, 则可以得到更强的非零区域:

非零区域 $\sigma \ge 1-A/\log (|t|+2)$

参见: Borel–Carathéodory_定理 # 整函数的零点展开式

定理 3.5 (de la Vallée Poussin). 存在 $A>0$ 使 $\zeta (s)$ 在区域 $\sigma \ge 1-A/\log (|t|+2)$ 内无零点.

证明. 将 $F(s)=-{\zeta }^{\prime }/\zeta (s)$ 代入到引理 3.3 中, 则可以发现当 $\sigma >1$ 时总有: $$-3\frac{{\zeta }^{\prime }}{\zeta }(\sigma )-4\Re \frac{{\zeta }^{\prime }}{\zeta }(\sigma +it)-\Re \frac{{\zeta }^{\prime }}{\zeta }(\sigma +2it)\ge 0$$(4)倘若 $\zeta ({\beta }_0+i{\gamma }_0)=0$ 则当 $t={\gamma }_0$ 时可以通过对定理 2.10 取实部得知当 $\mathcal{L}=\log (|{\gamma }_0|+2)$ 时: $$-\Re \frac{{\zeta }^{\prime }}{\zeta }(\sigma +i{\gamma }_0)\le -\frac{1}{\sigma -{\beta }_0}+O(\mathcal{L})$$$$-\Re \frac{{\zeta }^{\prime }}{\zeta }(\sigma +2i{\gamma }_0)\le O(\mathcal{L})$$另一方面由于 $s=1$ 是 $\zeta (s)$ 的一阶极点, 所以: $$0\le -\frac{{\zeta }^{\prime }}{\zeta }(\sigma )\le \frac{1}{\sigma -1}+O(1)$$将这些结论代入回 (4) 中, 即可发现存在 $A>0$ 使当 $\sigma >1$ 时总有: $$\frac{3}{\sigma -1}-\frac{4}{\sigma -{\beta }_0}\ge -A\mathcal{L}$$现在设 $\delta >0$, 则代入 $\sigma =1+\delta /\mathcal{L}$ 便得: $$\frac{4}{\sigma -{\beta }_0}\le (A+3{\delta }^{-1})\mathcal{L}$$再通过移项, 就有: $$\sigma -{\beta }_0\ge \frac{4}{A+3{\delta }^{-1}}\frac{1}{\mathcal{L}}$$现在再对两侧同时加上 $1-\sigma$ 就有: $$1-{\beta }_0\ge \frac{7-A\delta }{A+3{\delta }^{-1}}\frac{1}{\mathcal{L}}$$

现在选择足够小的 $\delta >0$ 使右侧大于零就完成任务了.

$\square$

现在将这个结论与定理 2.10 结合, 就可以用一个 Borel–Carathéodory 定理的推论得到:

定理 3.6. 存在 $A>0$ 使得当 $|t|\ge 2$、$\sigma \ge 1-A/\log |t|$ 时: $$\frac{{\zeta }^{\prime }}{\zeta }(s)=O(\log |t|)$$

利用这一点, 我们就可以得到适用于 $\log \zeta (s)$ 的上下界了:

定理 3.7. 存在 $A>0$ 使得当 $|t|\ge 2$、$\sigma \ge 1-A/\log |t|$ 时: $$|\log \zeta (s)|\le \log \log |t|+O(1)$$(5)特别地, 对两侧取指数可得: $$\zeta (s)=O(\log |t|)$$$$\frac{1}{\zeta (s)}=O(\log |t|)$$

证明. 通过对定理 3.6 积分, 可知当 ${\sigma }_0>1\ge \sigma$ 时: $$\log \zeta (s)=\log \zeta (s_0)+{\int }_{{\sigma }_0}^{\sigma }\frac{{\zeta }^{\prime }}{\zeta }(u+it)\mathrm{d}u$$对两侧取绝对值, 便有: $$\begin{array}{rl}|\log \zeta (s)|& \le \log \zeta ({\sigma }_0)+O\{({\sigma }_0-\sigma )\log |t|\}\\ & \le \log \frac{1}{{\sigma }_0-1}+O(1)+O\{({\sigma }_0-\sigma )\log |t|\}\end{array}$$此刻设置 ${\sigma }_0=1+1/\log |t|$ 则有 ${\sigma }_0-\sigma \le (A+1)/\log |t|$, 因此上面的式子就可以简化成 (5).

$\square$

4应用

(...)

5相关概念

•	Dedekind $\zeta$ 函数
•	Weil $\zeta$ 函数
•	Dirichlet $L$ 函数
•	Riemann 猜想

术语翻译

Riemann $\zeta$ 函数 • 英文 Riemann $\zeta$ function • 德文 Riemannsche $\zeta$-Funktion • 法文 fonction $\zeta$ de Riemann