算术基本定理

算术基本定理是初等数论中的结论, 又称唯一分解定理, 是说正整数可以 (在相差次序意义下) 唯一地写成素数的乘积.

从算术基本定理中可以抽象出唯一分解整环的概念, 即每个元素都可以 (相差可逆元意义下) 唯一分解为素元之积的环.

1陈述与证明

定理 1.1. 对任意正整数 $n$, 存在唯一的正整数 $k$, 使得存在 $k$ 个不同的素数 $p_1,\cdots ,p_k$, 以及 $k$ 个正整数 $a_1,\cdots ,a_k$, 使得$$n=\prod _{i=1}^k{p}_i^{a_i}.$$且此时集合$$\{(p_1,a_1),\dots ,(p_k,a_k)\}$$由 $n$ 唯一决定.

证明. 由于整数环是 Euclid 整环, 所有 Euclid 整环是主理想整环, 所有主理想整环是唯一分解整环, 命题得证. 上述命题的证明见相应条目.

$\square$

2推广

在一般的整环中, 素数可以抽象为素元、不可约元等概念. 这时有类似性质的环则称为唯一分解整环.

既然整数环有唯一分解性质, 也可以考虑别的代数整数环是否有相应性质. 答案是有些环有, 例如 Gauß 整数环 $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$, 有些环没有, 例如 $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$. 对没有此性质的环, 可以考虑它距离此性质有多远, 这便引入了类群的概念; 也可以推广素数的概念从一个元素到一个子集, 即素理想, 此时所有整闭的代数整数环都有此性质.

3相关概念

•	唯一分解整环
•	主理想整环
•	Euclid 整环
•	Dedekind 整环
•	类群

术语翻译

算术基本定理 • 英文 fundamental theorem of arithmetic • 德文 Fundamentalsatz der Arithmetik • 法文 théorème fondamental de l’arithmétique • 拉丁文 theorema fundamentale arithmeticae • 古希腊文 θεμελιῶδες θεώρημα ἀριθμητικῆς