Euclid 整环

在交换代数中, Euclid 整环是一类整环, 大致是指可以像在整数环中一样做带余除法的整环.

1定义

定义 1.1 (Euclid 整环). 设 $R$ 是整环. 称 $R$ 为 Euclid 整环, 是指其满足以下性质:

•	存在函数$$d:R\setminus \{0\}\to \mathbb{N},$$使得对任意 $a,b\in R$, 其中 $b\ne 0$, 都存在 $q,r\in R$, 使得 $a=bq+r$, 其中 $r=0$ 或者 $d(r)<d(b)$.

在上述定义中, 有时也称函数 $d$ 为 Euclid 函数. 当我们说 $R$ 是 Euclid 整环时, 只要求这样的函数存在, 而不要求指定一个具体的函数.

2例子

•	整数环 $\mathbb{Z}$ 是 Euclid 整环. 对整数 $0\ne n\in \mathbb{Z}$, 可以取 $d(n)=|n|$, 而整数的带余除法说明其满足 Euclid 整环的定义.

•	域 $F$ 上的一元多项式环 $F[x]$ 也是 Euclid 整环. 对多项式 $0\ne f\in F[x]$, 可以取 $d(f)=\mathrm{deg}(f)$, 即取多项式的次数. 一元多项式的带余除法说明其满足 Euclid 整环的定义.

3性质

基本性质

•	Euclid 整环是主理想整环; 证明见该文. 特别地, Euclid 整环是唯一分解整环

4相关概念

术语翻译

Euclid 整环 • 英文 Euclidean domain