光滑同态

约定. 在本文中,

• 所有环都指交换环.

光滑同态是一类环同态, 在代数–几何对偶下模拟微分流形的浸没.

1定义

定义 1.1. 设 $R\to A$ 是环同态, $\mathfrak{q}$ 是 $A$ 的素理想, $\mathfrak{p}=\mathfrak{q}\cap R$. 对 $d\in \mathbb{N}$, 称 $R\to A$ 在 $\mathfrak{q}$ 处 $\mathbf{d}$ 维光滑, 指它在 $\mathfrak{q}$ 处有限表现、$d$ 维平坦 (即存在 $a\notin \mathfrak{q}$ 使 $R\to A_a$ 为有限表现、平坦、纤维 $A{\otimes }_{R}k(\mathfrak{p})$ 的维数是 $d$), 且微分模 ${\Omega }_{A/R}$ 在 $\mathfrak{q}$ 处局部化为秩 $d$ 自由. 称其在 $\mathfrak{q}$ 处光滑, 指存在 $d\in \mathbb{N}$ 使其在 $\mathfrak{q}$ 处 $d$ 维光滑. 称 $R\to A$ 为 ($\mathbf{d}$ 维) 光滑同态, 指对 $A$ 的每个素理想 $\mathfrak{q}$, 它在 $\mathfrak{q}$ 处 ($d$ 维) 光滑. 此时也称 $A$ 为 ($d$ 维) 光滑 $R$-代数.

注 1.2. 于是平展同态就是 $0$ 维光滑同态.

2性质

命题 2.1. 设 $R\to A$ 是环同态, $\mathfrak{q}$ 是 $A$ 的素理想, $\mathfrak{p}=\mathfrak{q}\cap R$, $k=k(\mathfrak{p})$. 设 $R\to A$ 在 $\mathfrak{q}$ 处有限表现、平坦. 则对 $d\in \mathbb{N}$, 其在 $\mathfrak{q}$ 处 $d$ 维光滑, 当且仅当纤维 $k\to A{\otimes }_{R}k$ 在 $\mathfrak{q}$ 处 $d$ 维光滑.

命题 2.2. 环同态 $R\to A$ 为光滑, 当且仅当其有限表现、平坦、几何纤维正则.

命题 2.3. 光滑同态的复合、基变换仍是光滑同态.

命题 2.4. 如 $R\to A$ 为光滑同态, $R$ 为

•	$({\text{R}}_k)$;
•	$({\text{S}}_k)$;
•	既约;
•	正规;

则 $A$ 亦然.

命题 2.5 (过渡到极限). 设 $\{R_i\to A_i{\}}_{i\in I}$ 是有限表现同态的滤相系, 满足对 $i<j$, $A_j=A_i{\otimes }_{R_i}{R}_j$. 记 $R={\mathrm{colim}}_i{R}_i$, $A={\mathrm{colim}}_i{A}_i$.

•	如每个 $R_i\to A_i$ 光滑, 则 $R\to A$ 光滑.
•	如 $R\to A$ 光滑, 则存在 $i\in I$ 使得 $R_i\to A_i$ 光滑.

以下是 Grothendieck 对光滑的刻画. 此类命题显示了幂零理想在交换代数和代数几何中不可或缺. 事实上, 幂零理想是 “形变” 的代数对应物.

定理 2.6. 光滑等价于有限表现且形式光滑. 详细地说, 环同态 $R\to A$ 光滑, 当且仅当其有限表现, 且对任意环 $S$ 及其理想 $I$ 满足 $I^2=0$ 以及图表$$RSAS/I$$使其交换的虚线箭头存在.

下面的命题常称为 Jacobi 判别法. 这里比平展情形弱, 需要局部化 $A$.

命题 2.7. 设 $R\to A$ 是环同态, $\mathfrak{q}$ 是 $A$ 的素理想, $d\in \mathbb{N}$. 则 $R\to A$ 在 $\mathfrak{q}$ 处 $d$ 维光滑当且仅当存在 $a\notin \mathfrak{q}$, $A_a$ 可以写成 $R[x_1,\dots ,x_{n+d}]/(f_1,\dots ,f_n)$ 的形式, 其中 Jacobi 行列式 $\det {\left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right)}_{1\le i,j\le n}$ 在 $A$ 中可逆.

推论 2.8. 光滑同态局部上是多项式环和平展同态的复合.

特征 $0$ 时光滑的定义可以减弱.

命题 2.9. 设 $k$ 为特征 $0$ 域, $A$ 为 $k$ 上有限型代数. 则 $A$ 为光滑 $k$-代数当且仅当 ${\Omega }_{A/k}$ 为局部自由 $A$-模.

3例子

例 3.1. 命题 2.9 在正特征不对, 即正特征时必须要求微分模的局部秩和纤维维数一样. 任取特征 $p$ 环 $R$, 观察同态 $R\to R[x]/x^p$. 由微分模的表现容易算出其微分模为秩 $1$ 自由, 但其并不光滑.

4相关概念

•	光滑态射
•	形式光滑
•	余切复形

术语翻译

光滑同态 • 英文 smooth homomorphism • 德文 glatter Homomorphismus • 法文 homomorphisme lisse

$d$ 维光滑 • 英文 smooth of dimension $d$ • 德文 glatt von dimension $d$ • 法文 lisse de dimension $d$