光滑态射

本文介绍的是代数几何中的概念. 关于微分几何中的同名概念, 请参见 “光滑映射”.

在代数几何中, 光滑态射是一类概形态射, 是微分几何中流形之间浸没的类比. 流形的映射 $f:X\to Y$ 是浸没, 意思是它在每个 $x\in X$ 附近看起来都像是投影映射$$\begin{array}{rl}{\mathbb{R}}^{m+n}& ⟶{\mathbb{R}}^m,\\ (x_1,\dots ,x_{m+n})& ⟼(x_1,\dots ,x_m).\end{array}$$概形之间的光滑态射也有类似的局部刻画: 下面的定理 2.2 说明, 局部地看, 到仿射开集 $V$ 的光滑态射是 ${\mathbb{A}}_V^n\simeq V\times {\mathbb{A}}^n$ 中由一组多项式所刻画的子概形, 这组多项式需要保证该子概形上没有奇点. 而平展局部地看, 光滑态射看起来直接像是投影 ${\mathbb{A}}_V^n\to V$.

在代数–几何对偶下, 光滑态射对应于环的光滑同态.

1定义

定义 1.1 (光滑态射). 概形态射 $f:X\to Y$ 称为光滑态射, 如果以下等价条件成立.

1.	对任意 $x\in X$, 存在仿射开集 $x\in U\simeq \mathrm{Spec}A$ 及 $f(x)\in V\simeq \mathrm{Spec}R$, 使得 $f(U)\subset V$, 且诱导的环同态 $R\to A$ 是光滑同态.
2.	对任意仿射开集 $U\simeq \mathrm{Spec}A\subset X$ 及 $V\simeq \mathrm{Spec}R\subset Y$, 若 $f(U)\subset V$, 则诱导的环同态 $R\to A$ 是光滑同态.
3.	$f$ 平坦、局部有限表现, 且对每个 $y\in Y$, 几何纤维 $X_{\overline{y}}=X{\times }_Y\mathrm{Spec}\overline{\kappa (y)}$ 都是正则概形.
4.	$f$ 局部有限表现、形式光滑.

2性质

定理 2.1. 我们有以下性质.

•	光滑态射的复合是光滑态射.

•	光滑态射被拉回保持.

定理 2.2 (局部刻画). 设 $f:X\to Y$ 是概形态射. 则下列等价.

•	$f$ 是光滑态射.

•

对每个 $x\in X$, 存在仿射开集 $x\in U\simeq \mathrm{Spec}S$ 及 $f(x)\in V\simeq \mathrm{Spec}R$, 使得 $f(U)\subset V$, 有 $R$-代数的同构$$S\simeq R[x_1,\dots ,x_n]/(f_1,\dots ,f_m),$$其中 $0\le m\le n$, 且 $f_1,\dots ,f_m$ 满足以下条件: 行列式$$\det \left(\begin{array}{cccc}\partial f_1/\partial x_1& \partial f_2/\partial x_1& \cdots & \partial f_m/\partial x_1\\ \partial f_1/\partial x_2& \partial f_2/\partial x_2& \cdots & \partial f_m/\partial x_2\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ \partial f_1/\partial x_m& \partial f_2/\partial x_m& \cdots & \partial f_m/\partial x_m\end{array}\right)$$是 $S$ 中的可逆元.

•	对每个 $x\in X$, 存在开集 $x\in U$ 及 $f(x)\in V$, 使得 $f(U)\subset V$, 且有平展态射 $g:U\to {\mathbb{A}}_V^n$, 满足交换图$$U{\mathbb{A}}_V^{n}V\text{ ,}gf{|}_U\pi$$其中 $\pi$ 是自然的投影态射.

见 [Stacks, 01V7, 054L].

3参考文献

•	The Stacks project.

术语翻译

光滑态射 • 英文 smooth morphism • 法文 morphisme lisse (m)