紧合态射

紧合态射是代数几何中对拓扑中紧 Hausdorff 空间的模拟 (将态射作为相对概形, 而视为空间), 也是拓扑中紧合映射 (精确地说, 紧合分离映射) 的类比 (将态射视为空间之间的映射).

1定义

定义 1.1. 称概形态射 $X\to S$ 为紧合态射, 如果它分离、泛闭、有限型.

注 1.2. 由于概形纤维积的拓扑并不是相应拓扑空间的纤维积, 上述定义并不等价于相应拓扑空间之间的映射是紧合的.

2性质

命题 2.1 (赋值判别法). $X\to S$ 是紧合态射当且仅当其有限型、拟分离, 且对任意赋值环 $R$ 以及任意如下图表 (其中 $K$ 是 $R$ 的分式域, $\mathrm{Spec}K\to \mathrm{Spec}R$ 为自然映射), $$\mathrm{Spec}KX\mathrm{Spec}RYf$$使图表交换的虚线箭头存在唯一.

证明见条目赋值判别法.

命题 2.2.

•	闭浸入是紧合态射.
•	紧合态射的复合还是紧合态射.
•	紧合态射的基变换还是紧合态射.

推论 2.3. 对概形间态射 $f:Y\to Z$ 以及 $g:X\to Y$, 如果 $f$ 是分离态射, 且 $f\circ g$ 是紧合态射, 则 $g$ 是紧合态射.

下面的定理是 “仿射又紧合的代数簇只能是有限个点” 这一直观的推广.

定理 2.4. 仿射紧合态射为有限.

证明. 泛闭态射条目中证明了仿射泛闭态射一定整. 现由紧合它又有限型, 所以一定有限.

$\square$

紧合态射最重要的性质当属 Grothendieck 凝聚性, 证明参见主条目.

定理 2.5 (Grothendieck). 设 $f:X\to Y$ 是 Noether 概形的紧合态射. 则导出前推 $R{f}_{\ast }$ 把 ${\mathsf{D}}_{\mathsf{Coh}}^b(X)$ 变为 ${\mathsf{D}}_{\mathsf{Coh}}^b(Y)$. 换言之, 对 $X$ 上凝聚层 $\mathcal{F}$, $R^i{f}_{\ast }\mathcal{F}$ 都是 $Y$ 上凝聚层, 且当 $i$ 充分大时为 $0$.

以下形式函数定理亦比较有用, 证明参见主条目.

定理 2.6. 设 $R$ 是 Noether 环, $I$ 是其理想, $X$ 是紧合 $R$-概形, $\mathcal{F}$ 是 $X$ 上凝聚层. 对 $n\in \mathbb{N}$, 记 $X_n=X{\times }_{\mathrm{Spec}R}\mathrm{Spec}R/I^{n+1}$, ${\mathcal{F}}_n=\mathcal{F}{|}_{X_n}$. 则对 $i\in \mathbb{N}$, $$\underset{n}{\lim }{H}^i(X_n,{\mathcal{F}}_n)=H^i(X,\mathcal{F}{)}^{\wedge },$$其中 ${}^{\wedge }$ 表示 $R$-模关于 $I$ 完备化.

3例子

•	射影态射是紧合态射, 例如射影空间 ${\mathbb{P}}_S^n\to S$ 是紧合态射.
•	有限态射是紧合态射.
•	仿射空间 ${\mathbb{A}}_S^n\to S$ ($n\ge 1$) 不是紧合态射.
•	开浸入不是紧合态射, 除非它是开闭浸入.

4相关概念

•	分离态射
•	射影态射
•	周引理
•	Grothendieck 凝聚性
•	形式函数定理

术语翻译

紧合态射 • 英文 proper morphism • 德文 eigentlicher Morphismus • 法文 morphisme propre • 拉丁文 morphismus proprius • 古希腊文 ἴδιος μορφισμός