拉回 (范畴论)

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关于其它含义, 请参见 “拉回”.

范畴论中, 拉回 (或称纤维积Descartes 方块) 是一种万有构造, 描述的大概是下述情形:

在某个范畴中, 我们把对象视为空间. 假设有两个态射 , 这里 都是空间. 那么, 对每个 “, 考虑态射 纤维, 即点 的原像, 我们将其记为 . 我们将 视为所有纤维 拼起来得到的空间, 而将 视为所有 拼起来得到的空间. 我们把这两个纤维乘起来, 得到 . 最后, 把所有的乘积 拼起来, 得到一个大空间 , 这就是 沿 的纤维积. 我们也有一个态射 , 其在点 的纤维就是 .

拉回常常用图表来表示, 这里 沿 的纤维积.

拉回是推出对偶.

1定义

定义 1.1 (拉回).范畴. 对于 中的图表如果这个图表具有极限, 就把这个极限叫做 关于 沿映射 拉回.

具体地说, 该拉回是指交换图表它满足以下万有性质: 对任意对象 , 如果有交换图表则存在唯一的态射 , 使得以下图表交换:

拉回常常用图表表示, 有时也用来表示. 此图表称为拉回图表拉回方块.

拉回得到的对象 常常记为其中 是上述定义中的态射.

2例子

集合的纤维积可以如下描述. 设 为集合映射. 则其中 Descartes 积. 这也等价于说不过前一种描述更加自然.

拓扑空间的纤维积是纤维积空间.

概形的纤维积是纤维积概形.

群胚范畴的纤维积是纤维积范畴. 但需注意, 这里的拉回实际上是 -拉回, 故并不严格符合本文的定义.

3注释

称拉回为 “Descartes 方块” 是由于拉回是 Descartes 积的推广; 显然在 Descartes 的年代并没有范畴论. 在汉语文献中鲜见此称谓.

4相关概念

-拉回同伦拉回

术语翻译

拉回英文 pullback德文 Pullback (n)法文 pullback (m)

纤维积英文 fibre(d) product美式英文 fiber(ed) product德文 Faserprodukt (n)法文 produit fibré (m)

Descartes 方块英文 cartesian square德文 kartesisches Quadrat (n)