拉回

拉回是一种构造, 直观来说, 对于两个对象之间的态射 $X\to Y$, 可以从基于 $Y$ 的某物, 沿着此映射把此物拉回去, 得到基于 $X$ 的相应物.

在严格的数学语言中, 反变函子在态射 $f$ 上的作用称为该态射的拉回态射, 记为 $f^{\ast }$, 拉回映射在某个元素 (或对象) 上的作用称为这一元素 (或对象) 的拉回. 与之对偶的概念是前推.

通过 Grothendieck 构造的观点, 拉回也可以视为纤维范畴中的一个操作.

1例子

•	态射的复合: 在范畴 $\mathcal{C}$ 中, 态射 $g:Y\to Z$ 沿着 $f:X\to Y$ 的拉回是态射$$f^{\ast }(g)=g\circ f:X\to Z,$$其相应的函子是 $\mathcal{C}(-,Z)$.
•	拉回 (范畴论), 范畴论中的一种泛构造, 也被称为纤维积或基变换. 在范畴 $\mathcal{C}$ 中, 其相应的函子是 $X\mapsto {\mathcal{C}}_{/X}$. 与之对偶的概念是推出.
•	拉回 (微分形式), 其相应的函子为将流形 $M$ 对应至其微分形式构成的空间 ${\Omega }^{\bullet }(M)$.
•	前推 (代数链), 其相应的函子是把代数簇 $X$ 映至其代数链群 ${\mathcal{Z}}^{\bullet }(X)$.
•	拉回 (上同调), 其对应的函子为将空间 $X$ 对应至其上同调 $H^{\bullet }(X)$.
•	拉回层, 其对应的函子将拓扑空间 (或景) $X$ 映至其上层范畴 $\mathsf{Sh}(X)$, 或将环化空间 (或环化景) $(X,{\mathcal{O}}_X)$ 映至其上模层范畴 $\mathsf{Mod}\text{-}{\mathcal{O}}_X$.
•	意象间态射定义的一部分, 这是上一例的抽象.

术语翻译

拉回 • 英文 pullback • 德文 Pullback (n) • 法文 image inverse; image réciproque (f)