拉回层

关于其导出函子, 请参见 “导出拉回层”.

拉回层是层论中的一种构造. 对拓扑空间的连续映射 $f:X\to Y$, 以及 $Y$ 上的层 $\mathcal{F}$, 能得到 $X$ 上的层 $f^{-1}(\mathcal{F})$, 即 $\mathcal{F}$ 沿 $f$ 的拉回层. 大致而言, 该层在每个点 $x\in X$ 的茎就是 $\mathcal{F}$ 在 $f(x)\in Y$ 的茎, 故拉回层也就是将每个茎沿 $f$ 拉回到 $X$ 上. 拉回层的概念也可以推广到一般的景和意象上.

对环化空间之间的映射 $f:X\to Y$ 和 $Y$ 上的模层 $\mathcal{F}$ 而言, 还有另一种拉回层, 记为 $f^{\ast }(\mathcal{F})$, 它与 $f^{-1}(\mathcal{F})$ 类似, 但不完全相同. 这种拉回层可以视为拉回向量丛的类比和推广. 例如, 在代数几何中, 将代数向量丛等同于其截面构成的模层, 则该模层的拉回层就对应了向量丛的拉回. 从交换代数的角度来看, 对仿射概形之间的态射 $\mathrm{Spec}(B)\to \mathrm{Spec}(A)$, 拉回层对应于模的系数扩张, 即由 $A$-模 $M$ 得到 $B$-模 $B{\otimes }_{A}M$.

拉回层函子是前推层函子的左伴随. 这一点对于上述两种拉回层均成立, 其中 $f^{-1}$ 视为层范畴间的函子, 而 $f^{\ast }$ 视为模层范畴间的函子. 拉回层也是六函子体系的一部分.

1定义

对普通层

定义 1.1 (拉回层). 设 $X,Y$ 是拓扑空间, $f:X\to Y$ 是连续映射. 设 $\mathcal{C}$ 是余完备范畴且具有等子, $\mathcal{F}$ 是 $Y$ 上取值于 $\mathcal{C}$ 的层. 则 $\mathcal{F}$ 沿 $f$ 的拉回层是 $X$ 上取值于 $\mathcal{C}$ 的层 $f^{-1}(\mathcal{F})$, 定义为 $X$ 上预层$$U⟼\underset{\begin{array}{c}\text{开集 }V\subseteq Y\\ \text{满足 }U\subseteq f^{-1}(V)\end{array}}{\mathrm{colim}}\mathcal{F}(V)$$的层化. 这里, $U$ 是 $X$ 中开集, 而余极限是对 $Y$ 中所有满足 $U\subseteq f^{-1}(V)$ 的开集 $V$ 而取的, 这一条件也等价于 $f(U)\subseteq V$.

例如, 上述范畴 $\mathcal{C}$ 可取为集合范畴、Abel 群范畴等.

这一概念也可以推广到景上.

定义 1.2 (拉回层). 设 $\mathcal{X},\mathcal{Y}$ 是景, $f:\mathcal{X}\to \mathcal{Y}$ 是景的态射, 由函子 $u:\mathcal{Y}\to \mathcal{X}$ 给出. 设 $\mathcal{C}$ 是余完备范畴且具有等子, $\mathcal{F}$ 是 $\mathcal{Y}$ 上取值于 $\mathcal{C}$ 的层. 则拉回层 $f^{-1}(\mathcal{F})$ 是 $\mathcal{X}$ 上预层$$U⟼\underset{\begin{array}{c}V\in \mathcal{Y}\\ U\to u(V)\end{array}}{\mathrm{colim}}\mathcal{F}(V)$$的层化.

当 $\mathcal{X}$, $\mathcal{Y}$ 分别取为拓扑空间 $X$, $Y$ 对应的开集景时, 相应的函子 $f:\mathcal{Y}\to \mathcal{X}$ 将开集 $V$ 映至它的原像 $f^{-1}(V)$. 因此定义 1.2 确实是定义 1.1 的推广.

对于意象, 拉回层则是意象间态射定义的一部分.

注 1.3. 在定义 1.2 中, 会遇到以下技术问题: 定义中的余极限不一定是小的. 因此, 在这样定义拉回层时, 需假设 $\mathcal{Y}$ 为本质小范畴, 或验证定义中所用到的余极限等价于某个小余极限, 抑或将 $\mathcal{C}$ 扩充到更大的 Grothendieck 宇宙中.

对模层

定义 1.4 (拉回层). 设 $(X,{\mathcal{O}}_X)$ 与 $(Y,{\mathcal{O}}_Y)$ 是环化空间, $f:X\to Y$ 是连续映射, $\mathcal{F}$ 是 ${\mathcal{O}}_Y$-模层. 则 $\mathcal{F}$ 沿 $f$ 的拉回层是 ${\mathcal{O}}_X$-模层 $f^{\ast }(\mathcal{F})$, 定义为张量积层$$f^{\ast }(\mathcal{F})=f^{-1}(\mathcal{F})\underset{f^{-1}({\mathcal{O}}_Y)}{\otimes }{\mathcal{O}}_X.$$

这里, 注意到 $f^{-1}(\mathcal{F})$ 并不具备 ${\mathcal{O}}_X$-模层的结构, 但取张量积后则自然具有该结构.

模层的拉回同样可以对环化景之间的态射定义.

2性质

基本性质与例子

以下设 $f:X\to Y$ 是拓扑空间之间的连续映射, $\mathcal{F}$ 是 $Y$ 上的层.

•	作为层范畴之间的函子 $\mathsf{Sh}(Y)\to \mathsf{Sh}(X)$, 拉回层函子 $f^{-1}:\mathsf{Sh}(Y)\to \mathsf{Sh}(X)$ 是前推层函子 $f_{\ast }:\mathsf{Sh}(X)\to \mathsf{Sh}(Y)$ 的左伴随. 这一命题对景之间的态射也成立.

•	如 $X$ 为单点空间 $\{\ast \}$, 拉回层 $f^{-1}(\mathcal{F})$ 就是茎 ${\mathcal{F}}_{f(\ast )}$.

•	如 $X$ 是 $Y$ 的开子空间, 拉回层 $f^{-1}(\mathcal{F})$ 由 $U\mapsto \mathcal{F}(U\cap X)$ 给出. 且此时拉回层函子有左伴随函子, 它是紧支前推层函子 $f_{!}$.

对拟凝聚层

以下设 $(X,{\mathcal{O}}_X)\to (Y,{\mathcal{O}}_Y)$ 是环化空间或环化景间的态射, 且拉回层均指作为模层的拉回.

•	拟凝聚层的拉回也是拟凝聚层, 如果 $X$ 和 $Y$ 是 Noether 概形, 凝聚层的拉回也是凝聚层.

•	如 $X$, $Y$ 分别为仿射概形 $\mathrm{Spec}(B)$, $\mathrm{Spec}(A)$, $\mathcal{F}$ 为 $M$ 给出的拟凝聚层 $\tilde{M}$, 则有 $f^{\ast }(\tilde{M})\simeq \widetilde{B{\otimes }_{A}M}$.

术语翻译

拉回层 • 英文 inverse image sheaf • 德文 Urbildgarbe (f) • 法文 faisceau image réciproque (m)