逗号范畴

逗号范畴是范畴论中的一种构造. 给定范畴 $\mathcal{C}$、$\mathcal{D}$、$\mathcal{E}$ 及函子 $f:\mathcal{C}\to \mathcal{E}$, $g:\mathcal{D}\to \mathcal{E}$, 其逗号范畴 $\mathcal{C}{\vec{\times }}_{\mathcal{E}}\mathcal{D}$ 是由形如$$(x,y,a):x\in \mathcal{C},y\in \mathcal{D},a:f(x)\to g(y).$$的三元组构成的范畴. 例如, 俯范畴、仰范畴、箭头范畴都是逗号范畴的特例.

逗号范畴与纤维积范畴 $\mathcal{C}{\times }_{\mathcal{E}}\mathcal{D}$ 的定义十分相似, 只是后者要求三元组 $(x,y,a)$ 中的 $a$ 是同构, 而逗号范畴允许它是任何态射. 事实上, 正如纤维积范畴满足纤维积的万有性质, 从而是范畴的范畴 $\mathsf{Cat}$ 中的 $2$-极限, 逗号范畴也满足一个相似的万有性质. 该万有性质类似于松 $2$-极限, 但不完全与之相同.

逗号范畴的名称来源于 Lawvere 的原始记号 $(f,g)$.

逗号范畴的构造也可以从 $\mathsf{Cat}$ 推广到一般的 $2$-范畴, 称为 $2$-范畴中的有向纤维积.

1定义

定义 1.1 (逗号范畴). 设有范畴 $\mathcal{C}$、$\mathcal{D}$、$\mathcal{E}$, 及函子 $f:\mathcal{C}\to \mathcal{E}$, $g:\mathcal{D}\to \mathcal{E}$. 则其逗号范畴是如下定义的范畴:

•	对象: 形如 $(x,y,a)$ 的三元组, 其中 $x\in \mathcal{C}$, $y\in \mathcal{D}$, $a\in \mathcal{E}(f(x),g(y))$.

•	从 $(x,y,a)$ 到 $(x^{\prime },y^{\prime },a^{\prime })$ 的态射是二元组 $(c,d)$, 其中 $c\in \mathcal{C}(x,x^{\prime })$, $d\in \mathcal{D}(y,y^{\prime })$, 使得 $\mathcal{E}$ 中的图表$$f(x)g(y)f(x^{\prime })g(y^{\prime })f(c)ag(d)a^{\prime }$$交换.

我们将这个范畴记为$$\begin{array}{c}\mathcal{C}\underset{f,\mathcal{E},g}{\vec{\times }}\mathcal{D}\text{或}\mathcal{C}\underset{\mathcal{E}}{\vec{\times }}\mathcal{D}\\ \text{或}(f\downarrow g)\text{或}(f/g).\end{array}$$

我们有自然的投影态射 $p:\mathcal{C}{\vec{\times }}_{\mathcal{E}}\mathcal{D}\to \mathcal{C}$ 及 $q:\mathcal{C}{\vec{\times }}_{\mathcal{E}}\mathcal{D}\to \mathcal{D}$, 它们将三元组 $(x,y,a)$ 分别映至 $x,y$. 我们有 $\mathsf{Cat}$ 中的图表$$\mathcal{C}\underset{\mathcal{E}}{\vec{\times }}\mathcal{D}\mathcal{D}\mathcal{C}\mathcal{E}\text{ ,}qpgf⟹\alpha$$其中自然变换 $\alpha$ 在对象 $(x,y,a)\in \mathcal{C}{\vec{\times }}_{\mathcal{E}}\mathcal{D}$ 上定义为$${\alpha }_{(x,y,a)}=a:f(x)\to g(y).$$需要注意的是, 上述图表并不是相差自然同构意义下的交换图表, 因为 $\alpha$ 不是自然同构.

下面, 我们来叙述逗号范畴的万有性质.

命题 1.2. 在定义 1.1 的情况下, 逗号范畴 $\mathcal{C}{\vec{\times }}_{\mathcal{E}}\mathcal{D}$ 满足以下万有性质:

•

给定任一范畴 $\mathcal{F}$, 函子 $p^{\prime }:\mathcal{F}\to \mathcal{C}$, $q^{\prime }:\mathcal{F}\to \mathcal{D}$, 及自然变换 ${\alpha }^{\prime }:f\circ p^{\prime }\Rightarrow g\circ q^{\prime }$, 如下图所示: $$\mathcal{F}\mathcal{D}\mathcal{C}\mathcal{E}\text{ ,}{q}^{\prime }{p}^{\prime }gf⟹{\alpha }^{\prime }$$则存在 “唯一” 的函子 $h:\mathcal{F}\to \mathcal{C}{\vec{\times }}_{\mathcal{E}}\mathcal{D}$, 及自然同构 $\beta :p\circ h\simeq p^{\prime }$, $\gamma :q\circ h\simeq q^{\prime }$, 使得$${\alpha }^{\prime }=(g\circ \gamma )\star (\alpha \circ h)\star (f\circ {\beta }^{-1}),$$其中 $\star$ 是纵向复合. 上述关系可以画成以下图表: $$\mathcal{F}\mathcal{C}\underset{\mathcal{E}}{\vec{\times }}\mathcal{D}\mathcal{D}\mathcal{C}\mathcal{E}\text{ ,}{p}^{\prime }{q}^{\prime }h⟹\gamma ⟸\beta qpgf⟹\alpha$$其中三个 $2$-态射拼成大块的 $2$-态射 ${\alpha }^{\prime }$. 这里, 上面的唯一性是指若有两组数据 $(h,\beta ,\gamma )$ 与 $(h^{\prime },{\beta }^{\prime },{\gamma }^{\prime })$ 满足要求, 则存在唯一的自然同构 $\eta :h\simeq h^{\prime }$, 使得 $\gamma ={\gamma }^{\prime }\star (q\circ \eta )$, $\beta ={\beta }^{\prime }\star (p\circ \eta )$.

2例子

•	恒同函子 $\mathcal{C}\to \mathcal{C}$ 与一个函子 $\ast \to \mathcal{C}$ 的逗号范畴 $\mathcal{C}{\vec{\times }}_{\mathcal{C}}\ast$ 就是俯范畴 ${\mathcal{C}}_{/x}$, 其中 $x$ 是函子 $\ast \to \mathcal{C}$ 的像.

•	类似地, $\ast {\vec{\times }}_{\mathcal{C}}\mathcal{C}$ 就是仰范畴 ${\mathcal{C}}_{x/}$, 其中 $x$ 是函子 $\ast \to \mathcal{C}$ 的像.

3相关概念

•

逗号对象

术语翻译

逗号范畴 • 英文 comma category • 德文 Kommakategorie (f) • 法文 catégorie comma (f)