反范畴

范畴 $\mathcal{C}$ 的反范畴 (也称为对偶范畴) ${\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}$ 是将 $\mathcal{C}$ 中态射箭头方向倒转所得到的范畴.

1定义

定义 1.1 (反范畴). 范畴 $\mathcal{C}$ 的反范畴 ${\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}$ 是由以下信息确定的范畴:

•	对象: $\mathrm{Ob}({\mathcal{C}}^{\mathrm{op}})=\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$.

•	态射: 对任意 $x,y\in \mathrm{Ob}({\mathcal{C}}^{\mathrm{op}})$, ${\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}(x,y)=\mathcal{C}(y,x)$.

•	恒同态射: ${\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}$ 中每个对象的恒同态射与 $\mathcal{C}$ 中此对象的恒同态射相同.

•

态射复合: ${\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}$ 中态射复合与 $\mathcal{C}$ 中态射复合相反. 具体来说, 任意 $x,y,z\in \mathrm{Ob}({\mathcal{C}}^{\mathrm{op}})$ 对应复合映射$$\begin{array}{rl}{\circ }^{\mathrm{op}}:{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}(y,z)\times {\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}(x,y)& \to {\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}(x,z)\\ (g,f)& \mapsto g{\circ }^{\mathrm{op}}f=f\circ g.\end{array}$$

注 1.2. 由定义 1.1, 反范畴的反范畴是自身: 我们有范畴同构 $({\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}{)}^{\mathrm{op}}\simeq \mathcal{C}$.

2例子

•	交换环范畴的反范畴是仿射概形范畴.

•	有限维向量空间的范畴的反范畴等价于其自身, 这一范畴等价可以通过对偶空间函子给出. 更一般地, 某种给定空间上向量丛范畴的反范畴也等价于自身, 这一范畴等价可以通过对偶向量丛给出.

3性质

•	反范畴的构造保持积范畴. 具体来说, 对任意一族范畴 $({\mathcal{C}}_i{)}_{i\in I}$, 有 ${\left({\prod }_{i\in I}{\mathcal{C}}_i\right)}^{\mathrm{op}}\simeq {\prod }_{i\in I}{\mathcal{C}}_i^{\mathrm{op}}$.

4相关概念

•	自反范畴
•	反 $2$-范畴
•	反 $\infty$-范畴

术语翻译

反范畴 • 英文 opposite category • 德文 duale Kategorie • 法文 catégorie opposée