自反范畴

自反范畴是指等价于自身的反范畴的范畴.

1定义

定义 1.1. 自反范畴是指三元组 $(\mathcal{C},D,\eta )$, 其中

•	$\mathcal{C}$ 是范畴.

•	$D:\mathcal{C}\simeq {\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}$ 是范畴等价, 称为对偶函子.

•	$\eta :D^{\mathrm{op}}\circ D\simeq 1_{\mathcal{C}}$ 是自然同构,

满足以下条件:

•	对任意 $x\in \mathcal{C}$, 有$$D({\eta }_x)=({\eta }_{D(x)}^{\mathrm{op}}{)}^{-1}:D\circ D^{\mathrm{op}}\circ D(x)\to D(x),$$其中 ${\eta }^{\mathrm{op}}:1_{{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}}\simeq D\circ D^{\mathrm{op}}$ 是 $\eta$ 的反自然变换.

2例子

•	某个域上有限维向量空间的范畴是自反范畴, 其对偶函子由对偶空间给出.

•	更一般地, 某个空间 (例如拓扑空间、流形、代数簇) 上向量丛的范畴是自反范畴, 其对偶函子由对偶向量丛给出.

•	由于 Pontryagin 对偶, 局部紧 Abel 拓扑群的范畴是自反范畴.

•	某个域上 Abel 簇的范畴是自反范畴, 其对偶函子由对偶 Abel 簇给出.

3参考文献

原始文献:

•	C. Bu. “Enumerative invariants in self-dual categories. I. Motivic invariants”. arXiv: 2302.00038 [math.AG].

术语翻译

自反范畴 • 英文 self-dual category