Abel 簇

在代数几何中, Abel 簇是指带有群结构的射影簇, 这样的群结构必然交换, 故为 Abel 群结构. Abel 簇可以视为复环面的代数版本, 也是复环面向一般域的推广, 因为复数域上的 Abel 簇就是那些代数的 (即可以视为代数簇的) 复环面. 另一方面, Abel 簇也可以视为椭圆曲线的高维版本.

Abel 簇的典型例子是代数曲线的 Jacobi 簇, 或更一般地, 光滑射影簇的 Picard 簇, 也就是代数簇上所有线丛构成的空间中的一个连通分支, 其群结构由线丛的张量积给出.

1定义

定义 1.1. 域 $k$ 上的 Abel 簇是指 $k$ 上的群概形 $X$, 满足 $X$ 是 $k$ 上连通、光滑、紧合的代数簇.

满足上述条件的 $X$ 自然是射影簇, 并且其群结构自然是交换的. 证明可参见 [Conrad 2015].

2参考文献

讲义:

•	Brian Conrad (2015). Abelian varieties. (pdf)

•	James S. Milne (2008). Abelian varieties. (pdf)

3相关概念

术语翻译

Abel 簇 • 英文 abelian variety • 德文 abelsche Varietät (f) • 法文 variété abélienne (f) • 日文 Abel 多様体 (アーベルたようたい) • 韩文 Abel 다양체