椭圆曲线

在代数几何中, 椭圆曲线是一类代数曲线, 是指亏格为 $1$ 的射影代数曲线.

在复数域 $\mathbb{C}$ 上, 通过代数几何–解析几何对应, 椭圆曲线可以视为亏格 $1$ 的 Riemann 面, 也就是环面. 等价地说, 若 $\Lambda \subset \mathbb{C}$ 是秩为 $2$ 的晶格, 则商集 $X=\mathbb{C}/\Lambda$ 同胚于环面, 并带有自然的复结构, 以成为 Riemann 面, 这样的 Riemann 面就是椭圆曲线. 并且, $\mathbb{C}$ 上的椭圆曲线都能够这样得到.

一般而言, 域 $k$ 上的椭圆曲线总可以写成射影平面 ${\mathbb{P}}_k^2$ 中的三次曲线, 即由三次多项式方程确定的曲线. 当 $k$ 的特征不为 $2$ 或 $3$ 时, 这样的方程总可以通过变量替换, 写成形如$$y^2=x^3+ax+b$$的形式, 称为 Weierstraß 标准型. 这是椭圆曲线对应的仿射簇的方程, 椭圆曲线是它对应的射影簇.

椭圆曲线的一个重要性质是其 Abel 群结构. 每条椭圆曲线 $E$ 都带有 Abel 群的结构, 使得 $E$ 成为 Abel 簇, 也是群概形. 该群结构的定义并不复杂: 若将椭圆曲线 $E$ 写成 Weierstraß 标准型, 则对 $p,q\in E$, 由于 Bézout 定理, 连接 $p,q$ 的直线与 $E$ 交于第三点 $r$. 我们就定义 $p+q=-r$, 其中 $-r$ 是点 $r$ 沿 $x$ 轴的对称点. 于是, 对共线的三点 $p,q,r$, 我们有关系 $p+q+r=0$. 该群结构的单位元 $0\in E$ 是无穷远点. 另一方面, 对于 $\mathbb{C}$ 上的椭圆曲线, 若如前文所述, 将其视为商集 $\mathbb{C}/\Lambda$, 则其群结构就是 $\mathbb{C}$ 中的加法.

椭圆曲线是 Calabi–丘簇在一维情形的特例.

另外, 椭圆曲线也给出一族形式群律, 由此可以构造椭圆上同调.

1定义

定义 1.1 (椭圆曲线). 域 $k$ 上的椭圆曲线是指二元组 $(E,O)$, 其中

•	$E$ 是 $k$ 上的光滑、射影代数曲线, 其亏格为 $1$.

•	$O\in E$ 是一个 $k$-点, 称为原点.

无歧义时, 常直接称 $E$ 为椭圆曲线.

这里 $O$ 就是接下来定义的群结构的单位元.

椭圆曲线的概念也可以推广到一般的概形上. 大致来说, 这表示一族域上的椭圆曲线, 或者说 “相对” 的椭圆曲线.

定义 1.2 (相对椭圆曲线). 设 $S$ 是概形, $S$ 上的椭圆曲线指的是三元组 $(E,p,O)$, 其中

•

$E$ 是概形.

•	$p:E\to S$ 是紧合光滑态射, 使得它在 $S$ 每一点处的纤维都是亏格为 $1$ 的代数曲线.

•	$O$ 是概形态射 $S\to E$, 使得 $p\circ O$ 为恒等态射.

无歧义时, 也将椭圆曲线直接记为 $E$ 或 $E/S$.

2性质

群结构

(...)

标准型与分类

(...)

复椭圆曲线

(...)

3相关概念

•	椭圆曲线模空间
•	超异椭圆曲线
•	椭圆曲面

术语翻译

椭圆曲线 • 英文 elliptic curve • 德文 elliptische Kurve (f) • 法文 courbe elliptique (f) • 日文 楕円曲線 (だえんきょくせん) • 韩文 타원 곡선 (橢圓曲線)