代数曲面

代数曲面是指维数为 $2$ 的整代数簇.

1分类

代数闭域上的射影代数曲面可以详尽地分类, 称为 Enriques–Kodaira 分类. 射影曲面的 Kodaira 维数可以是 $-\infty ,0,1,2$, 各 Kodaira 维数的曲面可继续细分为如下若干类.

•	Kodaira 维数 $-\infty$: ∘ 有理曲面, 即双有理等价于 ${\mathbb{P}}^2$ 的曲面. 这一类包含 ${\mathbb{P}}^3$ 中的二次、三次曲面, 也包含所有 del Pezzo 曲面, 即二维的 Fano 簇. ∘ 直纹曲面, 即某代数曲线 $C$ 上的 ${\mathbb{P}}^1$-纤维丛. 若 $C={\mathbb{P}}^1$, 则这样的直纹曲面也是有理的, 称为 Hirzebruch 曲面.

•	Kodaira 维数 $0$: ∘ K3 曲面, 即二维的 Calabi–丘簇, 但除去下一类中的 Abel 曲面. 这一类包含 ${\mathbb{P}}^3$ 中的四次曲面. ∘ Abel 曲面, 即二维的 Abel 簇. 在复数域上, 这一类由所有代数的复环面组成. ∘ Enriques 曲面, 即 K3 曲面关于 $2$ 元循环群作用的商. ∘ 超椭圆曲面, 即 Abel 曲面关于某些有限群作用的商. 当域 $k$ 的特征为 $2$ 或 $3$ 时, 这一类还包括其它曲面, 称为拟超椭圆曲面.

•	Kodaira 维数 $1$: 这类曲面都是椭圆曲面, 但反之不然, 椭圆曲面的 Kodaira 维数可以更低. 在特征 $2$ 或 $3$ 时, 这一类还包括拟椭圆曲面.

•	Kodaira 维数 $2$: 即一般型曲面. 给定陈数 $c_1^2$ 和 $c_2$ 的一般型曲面具有良好的模空间. 这一类包含 ${\mathbb{P}}^3$ 中五次及以上的曲面.

2相关概念

术语翻译

代数曲面 • 英文 algebraic surface • 德文 algebraische Fläche (f) • 法文 surface algébrique (f) • 日文 代数曲面 (だいすうきょくめん) • 韩文 대수곡면 (代數曲面)