射影超曲面

在代数几何中, 射影超曲面是一类基本的射影簇. $n$ 维射影超曲面是指射影空间 ${\mathbb{P}}^{n+1}$ 中一个齐次多项式 $f(x_0,\dots ,x_{n+1})$ 的零点集, 即形如$$X=\{[x_0:\cdots :x_{n+1}]\in {\mathbb{P}}^{n+1}|f(x_0,\dots ,x_{n+1})=0\}$$的射影簇. 若 $f$ 为非零的 $d$ 次多项式, 也称 $X$ 为 $\mathbf{d}$ 次超曲面, 或 $\mathbf{d}$ 次 $\mathbf{n}$ 维簇. 当 $n=1,2$ 时, 也分别称之为 $\mathbf{d}$ 次曲线、$\mathbf{d}$ 次曲面. 这里, 术语中的 “超曲面” 是指 $X$ 在 ${\mathbb{P}}^{n+1}$ 中的余维数为 $1$, 正如向量空间中的超平面是指余维数为 $1$ 的子空间.

例如, 一次超曲面就是 ${\mathbb{P}}^{n+1}$ 中的射影超平面 ${\mathbb{P}}^n\subset {\mathbb{P}}^{n+1}$. 又例如, 二次曲线是圆锥曲线; 三次曲线是椭圆曲线.

1定义

定义 1.1. 设 $k$ 是域, $n$ 是自然数, $f\in k[x_0,\dots ,x_{n+1}]$ 是非零的齐次多项式, 其次数为 $d$. 则射影空间 ${\mathbb{P}}_k^{n+1}$ 中由 $f$ 定义的射影超曲面是指闭子簇$$V(f)\subset {\mathbb{P}}_k^{n+1},$$其中 $V(f)$ 指 $f$ 的零点集, 定义为射影谱$$V(f)=\mathrm{Proj}(k[x_0,\dots ,x_{n+1}]/(f)).$$它是 $k$ 上的 $n$ 维射影簇. 这样的射影簇也称为 $\mathbf{d}$ 次 $\mathbf{n}$ 维簇.

2相关概念

术语翻译

射影超曲面 • 英文 projective hypersurface