射影空间 (代数几何)

关于一般的概念, 请参见 “射影空间”.

在代数几何中, 射影空间是一种基本的空间. 具体而言, 域 $k$ 上的 $n$ 维射影空间, 记为 ${\mathbb{P}}_k^n$, 也就是通常的射影空间 $\mathbb{P}(k^{n+1})$ 在代数几何中的版本. 它是 $k$ 上的射影概形, 也是 $k$ 上的射影簇.

1定义

定义 1.1 (射影空间). 设 $R$ 是交换环, $n$ 是自然数. 则 $R$ 上的 $n$ 维射影空间定义为射影谱$${\mathbb{P}}_R^n=\mathrm{Proj}R[x_0,\dots ,x_n],$$其中 $R[x_0,\dots ,x_n]$ 是 $R$ 上的 $n+1$ 元多项式环, 其分次由 $\mathrm{deg}{x}_i=1$ 给出.

更一般地, 设 $S$ 是概形, $n$ 是自然数. 则 $S$ 上的 $n$ 维射影空间定义为$${\mathbb{P}}_S^n=S\underset{\mathrm{Spec}\mathbb{Z}}{\times }\mathrm{Proj}\mathbb{Z}[x_0,\dots ,x_n].$$也常将投影态射 ${\mathbb{P}}_S^n\to S$ 视为 $S$-概形, 而称该 $S$-概形为射影空间.

2例子

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设 $k$ 是域, $n$ 是自然数. 我们用如下方式把射影空间 ${\mathbb{P}}_k^n$ 和通常的射影空间 $\mathbb{P}(k^{n+1})$ 等同起来. 对不全为零的元素 $a_0,\dots ,a_n\in k$, 在射影空间 ${\mathbb{P}}_k^n$ 中, 可以定义一个闭点$$(a_0:\dots :a_n)\in {\mathbb{P}}_k^n,$$它对应齐次理想$$(a_i{x}_j-a_j{x}_i)\subset k[x_0,\dots ,x_n],$$其中左边是由所有形如 $a_i{x}_j-a_j{x}_i$ 的元素生成的理想, 其中 $i,j\in \{0,\dots ,n\}$. 这大致也是所有在子集$$\{(a_{0}t,\dots ,a_{n}t)\mid t\in k\}\subset {\mathbb{A}}_k^{n+1}$$上等于 $0$ 的齐次函数构成的理想. 若 $k$ 是代数闭域, 则这些点就是 ${\mathbb{P}}_k^n$ 中的所有闭点.

3性质

$\mathcal{O}(1)$ 的性质, 层的上同调等...

4相关概念

术语翻译

射影空间 • 英文 projective space • 德文 projektiver Raum (m) • 法文 espace projectif (m) • 拉丁文 spatium projectivum (n) • 古希腊文 προβολικὸς χῶρος (m)