典范丛

在代数几何中, $n$ 维光滑代数簇 $X$ 的典范丛 $K_X$ 是指其余切丛的 $n$ 阶外积, 也就是用来定义 $X$ 上的最高阶微分形式的代数线丛. 换言之, $K_X$ 的截面给出 $X$ 上的 $n$ 阶微分形式.

在复几何中, 也有同样的构造. 对 $n$ 维复流形 $X$, 其典范丛 $K_X$ 是 $X$ 上的全纯线丛, 其截面给出 $X$ 上的 $n$ 阶全纯微分形式.

在紧合簇或紧复流形上, 典范丛对应的除子称为典范除子.

典范丛的一个重要性质是, 它可以用来给出 Serre 对偶. 事实上, 这是对偶化复形这一概念的特例.

另外, 典范丛的定义类似于微分几何中光滑流形的定向丛. 因此, 若典范丛具有整体截面, 则相应的复流形或代数簇具有与定向流形类似的性质, 这是定向的概念在复几何、代数几何中的类比. 这类复流形或代数簇称为 Calabi–丘流形、Calabi–丘簇.

1定义

定义 1.1. 设 $X$ 是 $n$ 维复流形或代数簇. 则 $X$ 的典范丛定义为 $X$ 上的 (全纯或代数) 线丛$$K_X={\wedge }^n{\Omega }_X,$$其中 ${\Omega }_X$ 是 $X$ 的余切丛, ${\wedge }^n$ 表示外积.

术语翻译

典范丛 • 英文 canonical bundle