复流形

复流形是由一些 ${\mathbb{C}}^n$ 的开集沿着全纯映射粘起来, 而得到的流形.

研究复流形的学科称为复几何.

1定义

定义 1.1 (复结构). 设 $X$ 是 $2n$ 维拓扑流形. 记 $D\subset {\mathbb{C}}^n$ 为单位多圆盘.

•	$X$ 的复坐标卡是指一个开子集 $U\subset X$, 带有同胚映射 $\phi :D\simeq U$.
•	$X$ 的复坐标图册是由一族复坐标卡 $\{{\phi }_i:D\simeq U_i{\}}_{i\in I}$ 构成的 $X$ 的开覆盖.
•	在复坐标图册 $\{U_i{\}}_{i\in I}$ 中, 对 $i,j\in I$, 从第 $i$ 个坐标卡到第 $j$ 个坐标卡的转移映射是同胚映射$${\phi }_j^{-1}\circ {\phi }_i:{\phi }_i^{-1}(U_i\cap U_j)\simeq {\phi }_j^{-1}(U_i\cap U_j).$$这是 $D$ 的两个子集之间的映射.
•	一个复坐标图册称为相容的, 如果其中所有的转移映射都是全纯映射.
•	$X$ 的一个复结构是指 $X$ 的一个相容的复坐标图册, 并且它是极大的: 在图册中任意加入一个不同的复坐标卡, 它都会变成不相容的.

定义 1.2 (复流形). 设 $n$ 是自然数. $n$ 维复流形是指带有复结构的 $2n$ 维拓扑流形.

注 1.3. 复流形也常定义为带有相容的复坐标图册的流形. 这一定义与上述定义等价, 因为每个相容的复坐标图册都能唯一地扩充为一个复结构.

2例子

•	${\mathbb{C}}^n$ 的任何开子集都是 $n$ 维复流形.
•	复射影空间 $\mathbb{C}{\mathrm{P}}^n$ 是 $n$ 维复流形.
•	任何光滑复代数簇都是复流形.

3相关概念

•	近复流形
•	复解析空间
•	Dolbeault 上同调
•	Hermite 流形
•	Kähler 流形

术语翻译

复流形 • 英文 complex manifold • 德文 komplexe Mannigfaltigkeit (f) • 法文 variété complexe (f) • 拉丁文 multiplex complexus (n) • 古希腊文 μιγαδικὴ πολλαπλούτης (f)