代数几何–解析几何对应

代数几何–解析几何对应 (法文简称 GAGA) 是联系代数几何复解析几何的一系列结论. 复代数几何研究的对象是代数簇, 也就是仿射空间 多项式的零点集拼成的空间. 而这些零点集也可以视为复解析空间, 也就是可能带有奇点复流形. 因此, 每个复代数簇 都有其对应的复解析空间 , 称为其解析化. 两者具有不同的拓扑: 前者使用 Zariski 拓扑, 而后者使用通常的拓扑, 例如复流形上的拓扑. 但由于 本质上是同样的空间, 故它们应具有同样的性质, 这些性质分别通过代数几何、解析几何表述出来, 就能得到一些不平凡的结论.

这种不平凡性常常来自于复几何的某种 “刚性”. 例如, 某些复流形是代数的, 即它是某个代数簇的解析化. 然而, 复流形上的全纯函数并不对应于代数簇上的正则函数, 例如复流形 上就有很多 “不代数” 的全纯函数, 例如指数函数 . 但是, 如果加上某些紧合的假设, 就能使得这些反例不再存在. 例如, Liouville 定理说明, 紧复流形上的全纯函数都是常数函数, 从而都是正则函数. 又例如, 复流形 的子流形 不是代数的, 但对于代数的紧复流形而言, 例如对复射影空间 , 则由周定理, 其闭子流形也都是代数的.

1主要结论

对应定理

代数几何–解析几何对应定理, 常简称 GAGA 定理, 是指下面的关于凝聚层的结论.

定理 1.1 (对应定理).紧合代数簇, 为其解析化. 则有范畴等价这里 表示凝聚层范畴, 表示 的解析化. 并且, 对任何 , 有即相应的层上同调相同.

周定理

周定理说明, 代数簇中的闭子解析空间都是代数的, 即都是闭子簇.

定理 1.2 (周定理).紧合代数簇, 记它的解析化. 则 闭子簇 的闭子解析空间一一对应.

比较定理

定理 1.3 (平展–奇异比较).代数簇, 记 为它的解析化, 为环 , , 之一. 则有环同构其中左边表示平展上同调, 右边表示奇异上同调.

2相关概念

Kodaira 嵌入定理

Riemann 存在定理

代数几何–形式几何对应

代数几何–刚性几何对应

术语翻译

代数几何–解析几何对应英文 algebraic geometry and analytic geometry德文 algebraische Geometrie und analytische Geometrie法文 géométrie algébrique et géométrie analytique (GAGA)拉丁文 geometria algebraica et geometria analytica古希腊文 μεταριθμικὴ γεωμετρία καὶ ἀναλυτικὴ γεωμετρία日文 代数幾何学と解析幾何学韩文 가가