复数

复数是实数的一种扩充, 是形如 $z=a+b\mathrm{i}$ 的数, 其中 $a,b$ 是实数, $\mathrm{i}$ 是形式记号, 称为虚数单位, 满足$${\mathrm{i}}^2=-1.$$也就是说, $\mathrm{i}$ 是 $-1$ 的平方根, 这样的元素在实数域中是不存在的. 所有复数构成的集合记为$$\mathbb{C}=\{a+b\mathrm{i}\mid a,b\in \mathbb{R}\}.$$

在复数上, 可以定义加、减、乘、除四则运算, 使得 $\mathbb{C}$ 成为域. 复数域的一个重要性质是代数基本定理, 它表明 $\mathbb{C}$ 是代数闭域, 也就是说, 复数域上任何的多项式方程都有复数根. 例如, 方程 $x^2=-1$ 在实数域上无解, 但在复数域上则有两个解, $x=\pm \mathrm{i}$.

所有复数构成的集合可以视为一个平面, 称为复平面, 因为 $\mathbb{C}$ 是 $\mathbb{R}$ 上的二维向量空间, 每个复数即是其中的向量.

对复数的研究衍生出复分析、复几何等学科. 复数域也是代数几何中常用的域. 在物理学中, 复数是量子力学、量子场论等学科的基础.

1历史

2定义

定义 2.1 (复数). 复数是指集合$$\mathbb{C}=\{a+b\mathrm{i}\mid a,b\in \mathbb{R}\}$$的元素, 其中 $\mathrm{i}$ 是形式的记号.

我们也引入以下记号:

•	对实数 $a$, 我们将复数 $a+0\mathrm{i}\in \mathbb{C}$ 直接记为 $a\in \mathbb{C}$.

•	对实数 $b$, 我们将复数 $0+b\mathrm{i}$ 直接记为 $b\mathrm{i}\in \mathbb{C}$. 特别地, 元素 $0+1\mathrm{i}$ 和 $0+(-1)\mathrm{i}$ 直接记为 $\mathrm{i}$ 和 $-\mathrm{i}$. 元素 $\mathrm{i}\in \mathbb{C}$ 称为虚数单位.

定义 2.2 (复数的性质). 设 $z=a+b\mathrm{i}\in \mathbb{C}$ 是复数, 其中 $a,b\in \mathbb{R}$.

•	$z$ 的实部定义为实数 $\mathrm{Re}(z)=a$.

•	$z$ 的虚部定义为实数 $\mathrm{Im}(z)=b$.

•	$z$ 的模 (或绝对值) 定义为实数 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$.

•	$z$ 的共轭 (或复共轭) 定义为复数 $\bar{z}=a-b\mathrm{i}$.

•	若 $z\ne 0$, 则 $z$ 的辐角是实数 $\theta =\arg z$, 满足$$a=|z|\cos \theta ,b=|z|\sin \theta .$$辐角总是存在, 但仅在相差 $2\pi$ 整数倍的意义下是确定的.

定义 2.3 (复数的运算). 在 $\mathbb{C}$ 上定义加法运算如下: 对 $a,b,c,d\in \mathbb{R}$, 定义$$(a+b\mathrm{i})+(c+d\mathrm{i})=(a+c)+(b+d)\mathrm{i}.$$在 $\mathbb{C}$ 上定义乘法运算如下: 对 $a,b,c,d\in \mathbb{R}$, 定义$$(a+b\mathrm{i})(c+d\mathrm{i})=(ac-bd)+(ad+bc)\mathrm{i}.$$这样的加法、乘法使 $\mathbb{C}$ 成为一个域, 称为复数域.

3性质

基本性质

设 $z\in \mathbb{C}$ 是复数. 我们列举一些实部、虚部、共轭、模等概念的关系.

•	$\overline{(\bar{z})}=z$.

•	$2\mathrm{Re}(z)=z+\bar{z}$.

•	$2\mathrm{i}\mathrm{Im}(z)=z-\bar{z}$.

•	$|z{|}^2=z\bar{z}$. 特别地, $\mathbb{C}$ 中的乘法逆可以写成$$z^{-1}=\frac{\bar{z}}{|z{|}^2}.$$

•	共轭是域自同构. 具体地说, 对任意 $z,w\in \mathbb{C}$, 有 $\overline{z+w}=\bar{z}+\bar{w}$, 且 $\overline{zw}=\bar{z}\bar{w}$.

代数闭性

代数基本定理表明, 复数域是代数闭域, 即任意非零复系数多项式都有复数根.

4相关概念

术语翻译

复数 • 英文 complex number • 德文 complexe Zahl (f) • 法文 nombre complexe (m) • 拉丁文 numerus complexus (m) • 古希腊文 μιγαδικὸς ἀριθμός (m)

实部 • 英文 real part • 德文 Realteil (m) • 法文 partie réelle (f) • 拉丁文 pars realis (f) • 古希腊文 πραγματικὸν μέρος (n)

虚部 • 英文 imaginary part • 德文 Imaginärteil (m) • 法文 partie imaginaire (f) • 拉丁文 pars imaginaria (f) • 古希腊文 φανταστικὸν μέρος (n)

共轭 (操作) • 英文 conjugation • 德文 Konjugation (f) • 法文 conjugaison (f) • 拉丁文 coniunctio (f) • 古希腊文 συζυγία (f)

共轭 (结果) • 英文 conjugate • 德文 Konjugierte (f) • 法文 conjugaison (m) • 拉丁文 coniunctus (m) • 古希腊文 συζυγής (m)

模、模长 • 英文 modulus • 德文 Modulus (m) • 法文 module (m) • 拉丁文 modulus (m) • 古希腊文 μέτρον (n)