恒等定理

恒等定理是代数学和分析学中的一系列结论, 包含以下几个版本:

•	多项式函数的恒等定理说明, 如果两个 $n$ 次多项式函数在 $n+1$ 个不同点的取值相同, 则这两个多项式函数相同.

•	解析函数或全纯函数的恒等定理说明, 如果两个解析函数 (或全纯函数) 在一个具有极限点的点集上取值相同, 则这两个函数相同.

1陈述与证明

对多项式函数

定理 1.1 (恒等定理, 多项式函数). 设 $k$ 是域, $f_1,f_2\in k[x]$ 是 $k$ 上至多 $n$ 次的多项式. 如果集合$$\{x\in k\mid f_1(x)=f_2(x)\}$$具有至少 $n+1$ 个元素, 则 $f_1=f_2$.

对解析函数

定理 1.2 (恒等定理, 解析函数). 设 $a<b$ 是实数, $f_1,f_2:]a,b[\to \mathbb{R}$ 是解析函数. 如果集合$$\{x\in ]a,b[\mid f_1(x)=f_2(x)\}$$在 $]a,b[$ 的内部存在极限点, 则 $f_1=f_2$.

对全纯函数

定理 1.3 (恒等定理, 全纯函数). 设 $U\subset \mathbb{C}$ 是连通开集, $f_1,f_2:U\to \mathbb{C}$ 是全纯函数. 如果集合$$\{z\in U\mid f_1(z)=f_2(z)\}$$在 $U$ 内存在极限点, 则 $f_1=f_2$.

证明. 记 $f=f_1-f_2$. 则有 $U$ 中序列 $(z_n{)}_{n\ge 1}$, 使得对任意 $n$ 有 $f(z_n)=0$, 且 $(z_n)$ 收敛到某个 $a\in U$. 由 $f$ 的连续性, 有 $f(a)=0$. 将 $f$ 在 $a$ 附近展开成 Taylor 级数$$f(z)=\sum _{n=m}^{\infty }{a}_n(z-a{)}^n,$$并假设 $a_m\ne 0$. 记 $g(z)=f(z)/(z-a{)}^m$, 从而 $g$ 也是 $U$ 上的全纯函数, 且 $g(a)=a_m\ne 0$. 但 $f(z)=(z-a{)}^{m}g(z)$ 在 $a$ 附近的小邻域内, 除了 $a$ 以外没有任何零点, 这与 $z_n\to a$ 的假设矛盾. 该矛盾说明 $f$ 在 $a$ 的一个邻域上恒为 $0$. 这说明 $f$ 的零点的极限点的集合是 $U$ 中的开集. 而作为某个集合的极限点的集合, 它又是闭集. 因此, 由 $U$ 的连通性, 知它是整个 $U$.

$\square$

恒等定理也常常陈述为下面的形式.

推论 1.4. 设 $U\subset \mathbb{C}$ 是连通开集, $f:U\to \mathbb{C}$ 是不恒为 $0$ 的全纯函数. 则 $f$ 的零点集$$\{z\in U\mid f(z)=0\}$$在 $U$ 内不存在极限点.

2相关概念

术语翻译

恒等定理 • 英文 identity theorem • 德文 Identitätssatz • 法文 théorème d’identité • 日文 一致の定理 (いっちのていり) • 韩文 항등 정리 (恒等定理)