Cauchy 积分公式

注意区分本文与 “Cauchy 积分定理”､“Cauchy 重积分公式”.

Cauchy 积分公式说明, 全纯函数在某个点的值 (及其各阶导数) 可由一个围绕该点的曲线积分决定, 而这个积分只涉及函数在该曲线上的取值.

1陈述与证明

定理 1.1 (Cauchy 积分公式). 设

•	$U\subset \mathbb{C}$ 是单连通开集.
•	$f:U\to \mathbb{C}$ 是全纯函数.
•	$\gamma :S^1\to U$ 是可求长 Jordan 曲线, 以逆时针定向.
•	$z_0\in U$ 是 $\gamma$ 内部一点.

则

•	$f(z_0)$ 由以下曲线积分给出: $$f(z_0)=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\oint }_{\gamma }\frac{f(z)}{z-z_0}dz.$$
•	更一般地, $f$ 在 $z_0$ 处的 $n$ 阶导数由以下曲线积分给出: $$f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi \mathrm{i}}{\oint }_{\gamma }\frac{f(z)}{(z-z_0{)}^{n+1}}dz.$$

证明. 先证明第一个公式. 函数 $f(z)/(z-z_0)$ 在 $U\setminus \{z_0\}$ 上全纯, 因此由 Cauchy 积分定理, 它沿 $\gamma$ 的积分等于沿圆周 $|z-z_0|=\epsilon$ 的积分, 其中 $\epsilon >0$ 足够小. 而这个积分等于$$\begin{array}{rl}& \frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\oint }_{|z-z_0|=\epsilon }\frac{f(z)}{z-z_0}dz\\ & =\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_0^{2\pi }\frac{f(z_0+\epsilon {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta })}{\epsilon {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\epsilon \mathrm{i}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }d\theta \\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(z_0+\epsilon {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta })d\theta ,\end{array}$$当 $\epsilon \to 0$ 时, 这个积分趋于 $f(z_0)$. 而这个积分并不依赖于 $\epsilon$, 因此它就等于 $f(z_0)$.

再证明第二个公式. 取 $r>0$ 使得闭球 ${\bar{B}}_r(z_0)\subset U$, 则对任何 $z\in B_r(z_0)$ 和 $\zeta \in \partial B_r(z_0)$, 有$$\frac{1}{\zeta -z}=\frac{1}{(\zeta -z_0)(1-\frac{z-z_0}{\zeta -z_0})}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(z-z_0{)}^n}{(\zeta -z_0{)}^{n+1}},$$并且对固定的 $z$, 这个级数关于 $\zeta \in \partial B_r(z_0)$ 一致收敛. 因此, $$\begin{array}{rl}f(z)& =\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\oint }_{|z-z_0|=r}\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}d\zeta \\ & =\sum _{n=0}^{\infty }\left[\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\oint }_{|z-z_0|=r}\frac{f(\zeta )}{(\zeta -z_0{)}^{n+1}}d\zeta \right](z-z_0{)}^n.\end{array}$$这说明 $f$ 在 $B_r(z_0)$ 中能写成收敛的 Taylor 级数. 因此, 它在 $z_0$ 处的各阶导数由 Taylor 级数的系数给出. 最后, 由 Cauchy 积分定理, 曲线 $|z-z_0|=r$ 可以换成任何满足假设的曲线 $\gamma$.

$\square$

2相关概念

术语翻译

Cauchy 积分公式 • 英文 Cauchy’s integral formula • 德文 cauchysche Integralformel (f) • 法文 formule intégrale de Cauchy (f)