Cauchy–Riemann 方程

在复分析中, Cauchy–Riemann 方程是判断复平面上函数是否全纯的条件. 将复平面的坐标写成 $z=x+\mathrm{i}y$, 并考虑复平面上的复值函数$$f(x,y)=u(x,y)+\mathrm{i}v(x,y),$$其中 $u,v$ 都是实值函数. 则 $f$ 的 Cauchy–Riemann 方程是$$\begin{array}{rl}\frac{\partial u}{\partial x}& =\frac{\partial v}{\partial y},\\ \frac{\partial u}{\partial y}& =-\frac{\partial v}{\partial x}.\end{array}$$这组方程等价于 $f$ 全纯. 事实上, 这组方程是将 $f$ 存在复导数的条件翻译成实值函数的偏导数而得到的.

直观来说, Cauchy–Riemann 方程表明, 函数 $f$ 存在复导数, 当且仅当它在每点处的切映射, 作为 ${\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ 的 $\mathbb{R}$-线性映射, 也应该是 $\mathbb{C}$ 线性的. 换言之, 它一定能由一个旋转再加上一个缩放得到. 事实上, 这样的线性映射的矩阵形如$$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right),$$这正是 Cauchy–Riemann 方程所要求的. 这也说明, 如果在某点处该切映射非零, 就能得到 $f$ 在该点是共形映射.

1陈述与证明

定理 1.1 (Cauchy–Riemann 方程). 设 $U\subset \mathbb{C}$ 是开集, 考虑函数 $f:U\to \mathbb{C}$.

将复平面的坐标写成 $z=x+\mathrm{i}y$, 其中 $x,y\in \mathbb{R}$, 并令$$f(x,y)=u(x,y)+\mathrm{i}v(x,y),$$其中 $u,v:U\to \mathbb{R}$ 分别为 $f$ 的实部、虚部.

固定一点 $z_0=x_0+\mathrm{i}{y}_0\in U$. 则 $f$ 在 $z_0$ 处存在复导数, 当且仅当 $f$ 在 $z_0$ 处可微, 且在 $z_0$ 处满足 Cauchy–Riemann 方程$$\begin{array}{rl}\frac{\partial u}{\partial x}& =\frac{\partial v}{\partial y},\\ \frac{\partial u}{\partial y}& =-\frac{\partial v}{\partial x}.\end{array}$$特别地, $f$ 是全纯函数等价于上述方程在 $U$ 的每点处满足.

证明. 根据复导数的定义, $f$ 在 $z_0$ 存在复导数, 等价于存在 $A\in \mathbb{C}$, 使得当复数 $h\to 0$ 时, 有$$f(z_0+h)-f(z_0)=Ah+o(|h|).$$这等价于 $f$ 作为 $U\to {\mathbb{R}}^2$ 的映射在 $z_0$ 处可微, 并且切映射 $d{f}_{z_0}:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ 由乘以某个复数 $A$ 给出. 若记 $A=a+\mathrm{i}b$, 其中 $a,b\in \mathbb{R}$, 则乘以 $A$ 的线性映射是 $x+\mathrm{i}y\mapsto (ax-by)+\mathrm{i}(bx+ay)$, 其矩阵为$$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right).$$因此, $f$ 存在复导数等价于其切映射的矩阵, 即 Jacobi 矩阵, 具有上述形式. 此即 Cauchy–Riemann 方程.

$\square$

有时, 也将 Cauchy–Riemann 方程写成下面的形式. 我们使用复微分的记号$$\begin{array}{rl}\frac{\partial }{\partial z}& =\frac{1}{2}(\frac{\partial }{\partial x}+\mathrm{i}\frac{\partial }{\partial y}),\\ \frac{\partial }{\partial \bar{z}}& =\frac{1}{2}(\frac{\partial }{\partial x}-\mathrm{i}\frac{\partial }{\partial y}).\end{array}$$则 Cauchy–Riemann 方程可以简写为$$\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=0.$$也就是说, $f$ 全纯地依赖于 $z$, 而没有反全纯的部分.

2推论

调和性

Cauchy–Riemann 方程的一个重要推论是, 全纯函数的实部和虚部都是调和函数.

定理 2.1. 设 $U\subset \mathbb{C}$ 是开集, $f:U\to \mathbb{C}$ 是全纯函数. 令 $u,v:U\to \mathbb{R}$ 分别为 $f$ 的实部、虚部. 则 $u,v$ 都是调和函数.

$\square$

因为调和函数是解析的, 可以得到全纯函数都是解析的. 也就是说, 存在一阶导数即蕴涵解析性. 这是与实分析中截然不同的结果.

反过来, 对单连通开集 $U\subset \mathbb{C}$ 上的调和函数 $u$, 总能找到调和函数 $v$ 使得 $(u,v)$ 满足 Cauchy–Riemann 方程. 此时, 称调和函数 $u,v$ 互为调和共轭.

术语翻译

Cauchy–Riemann 方程 • 英文 Cauchy–Riemann equations • 德文 Cauchy-Riemannschen Differentialgleichung (CRDG) • 法文 équations de Cauchy–Riemann • 日文 Cauchy–Riemann の方程式