Cauchy 积分定理

注意区分本文与 “Cauchy 积分公式”､“Cauchy 重积分公式”.

Cauchy 积分定理 (也称为 Cauchy–Goursat 定理) 说明, 复平面上全纯函数的曲线积分在曲线的同伦下不变. 特别地, 全纯函数沿零伦闭曲线的积分为 $0$.

1定理陈述

定理 1.1 (Cauchy 积分定理). 设

•	$U\subset \mathbb{C}$ 是开集.

•	$f:U\to \mathbb{C}$ 是全纯函数.

•	${\gamma }_0,{\gamma }_1:[a,b]\to U$ 是两条连接 $x,y\in U$ 的可求长曲线, 且它们 (固定端点) 同伦.

则$${\int }_{{\gamma }_0}f(z)\mathrm{d}z={\int }_{{\gamma }_1}f(z)\mathrm{d}z.$$特别地, 如果 $\gamma$ 是在 $U$ 中零伦的闭曲线, 那么$${\oint }_{\gamma }f(z)\mathrm{d}z=0.$$

2定理证明

先建立如下的引理.

引理 2.1 (曲线的折线逼近). 设 $U\subset \mathbb{C}$ 是开集, $\gamma :[a,b]\to U$ 是可求长曲线, $f:U\to \mathbb{C}$ 是连续函数. 则对于任意 $\epsilon >0$, 存在一条 $U$ 中的折线 $P$, 使得

1.	$P,\gamma$ 有相同的起点和终点, $P$ 的顶点都在 $\gamma$ 上;
2.	$P$ 与 $\gamma$ 同伦;
3.	成立估计式$$\left|{\int }_{\gamma }f(z)\mathrm{d}z-{\int }_{P}f(z)\mathrm{d}z\right|<\epsilon .$$

证明.

证明. 令 $\rho =\mathrm{dist}(\gamma ,\partial U)>0$. 作一个紧集 $G$ 使得 $\gamma \subset G\subset U$. 因为 $f$ 在 $G$ 内是一致连续函数, 故对任意 $\epsilon >0$, 存在 $\delta >0$, 使得如果 $|z-w|<\delta$, 则有 $|f(z)-f(w)|<\epsilon /(2L)$, 其中 $L=\mathrm{length}(\gamma )$ 是曲线长度. 在 $\gamma$ 上取分点 $z_1,\cdots ,z_n$, 使得 $\gamma$ 被这些分点分得的曲线弧长度均小于 $\eta =\min (\delta ,\rho )$, 且 $z_1,z_n$ 分别是起点和终点. 显见 $|z_{k+1}-z_k|<\eta \le \rho$, 于是把分点连起来得到折线 $P$, 它在 $D$ 内部.

关于同伦, 可以简单地取直线同伦 $H(s,t)=(1-s)\gamma (t)+sP(t)$. 下面主要证明估计式.

记 ${\gamma }_k$ 表示第 $k$ 段曲线弧, $P_k$ 表示第 $k$ 条线段. 则$$\begin{array}{rl}\left|{\int }_{{\gamma }_k}f(z)\mathrm{d}z-{\int }_{P_k}f(z)\mathrm{d}z\right|& \le \left|{\int }_{{\gamma }_k}f(z)\mathrm{d}z-f(z_k)(z_{k+1}-z_k)\right|+\left|{\int }_{P_k}f(z)\mathrm{d}z-f(z_k)(z_{k+1}-z_k)\right|\\ & =\left|{\int }_{{\gamma }_k}(f(z)-f(z_k))\mathrm{d}z\right|+\left|{\int }_{P_k}(f(z)-f(z_k))\mathrm{d}z\right|\\ & \le {\int }_{{\gamma }_k}|f(z)-f(z_k)|\mathrm{d}z+{\int }_{P_k}|f(z)-f(z_k)|\mathrm{d}z\\ & <\frac{\epsilon }{2L}(\mathrm{length}({\gamma }_k)+\mathrm{length}(P_k))\\ & \le \frac{\epsilon }{L}\mathrm{length}({\gamma }_k).\end{array}$$对其求和, 得到$$\left|{\int }_{\gamma }f(z)\mathrm{d}z-{\int }_{P}f(z)\mathrm{d}z\right|<\frac{\epsilon }{L}\sum _{k=1}^{n-1}\mathrm{length}({\gamma }_k)=\epsilon .$$得证.

$\square$

这个引理允许我们把一般的曲线替换为分段可微的曲线 (实际上证明了更强的折线). 当然, 也可以用 Stone–Weierstraß 定理得到.

引理 2.2 (Goursat). 设 $U\subset \mathbb{C}$ 是开集, $T\subset U$ 是一个逆时针旋转的三角形, 则对任意全纯函数 $f:U\to \mathbb{C}$: $${\int }_{T}f(z)\mathrm{d}z=0.$$

证明.

证明. 我们通过如下的操作不断把三角形缩小.

如图, 设 $T_0=T$. 联结 $T_0$ 三条边的中点, 可以得到四个全等的三角形 $T_{1,i}(i=1,2,3,4)$. 规定它们都是逆时针旋转. 于是$${\int }_{T_0}f(z)\mathrm{d}z=\sum _{i=1}^4{\int }_{T_{1,i}}f(z)\mathrm{d}z.$$取 $T_1$ 为这四个三角形中使得$$\left|{\int }_{T_{1,i}}f(z)\mathrm{d}z\right|$$最大的三角形, 则$$\left|{\int }_{T_0}f(z)\mathrm{d}z\right|\le 4\left|{\int }_{T_1}f(z)\mathrm{d}z\right|.$$对 $T_1$ 也可以如此炮制. 一直下去, 得到一列三角形 $(T_n)$, 满足$$\left|{\int }_{T_0}f(z)\mathrm{d}z\right|\le 4^n\left|{\int }_{T_n}f(z)\mathrm{d}z\right|.$$设 $d_n,p_n$ 分别代表 $T_n$ 的直径和周长, 则 $d_n=2^{-n}{d}_0,p_n=2^{-n}{p}_0$. 设 ${\mathcal{T}}_n$ 表示 $T_n$ 的内部和周界的点集, 它们当然是闭集, 且$${\mathcal{T}}_0\supset {\mathcal{T}}_1\supset \cdots \supset {\mathcal{T}}_n\supset \cdots ,$$其直径 $\mathrm{diam}({\mathcal{T}}_n)=d_n\to 0$. 根据闭集套定理, 所有的 ${\mathcal{T}}_n$ 交于单点集 $\{z_0\}$. 根据 $f$ 的全纯性, 可以写出$$f(z)=f(z_0)+f^{\prime }(z_0)(z-z_0)+\psi (z)(z-z_0),$$其中 $\psi (z)=o(1),z\to z_0$. 简单计算可知$${\int }_{T_n}f(z)\mathrm{d}z={\int }_{T_n}\psi (z)(z-z_0)\mathrm{d}z.$$当 $n$ 充分大时, $|\psi (z)|\le {ϵ}_n\to 0,z\in T_n$, 从而$$\left|{\int }_{T_n}f(z)\mathrm{d}z\right|\le {ϵ}_n{d}_n{p}_n=4^{-n}{ϵ}_n{d}_0{p}_0,$$从而$$\left|{\int }_{T_0}f(z)\mathrm{d}z\right|\le {ϵ}_n{d}_0{p}_0\to 0.$$引理得证.

$\square$

这个引理实际上就是 Cauchy 积分定理对三角形的特殊情况. 据此, 不难推出 Cauchy 积分定理对矩形也成立.

引理 2.3. 设 $D\subset \mathbb{C}$ 是圆盘, $f:D\to \mathbb{C}$ 是全纯函数, 则 $f$ 在 $D$ 内存在原函数, 即存在全纯函数 $F$ 使得对任意 $z\in D$: $$F^{\prime }(z)=f(z).$$此时, 对分段可微曲线 $\gamma :[a,b]\to D$, 有$${\int }_{\gamma }f(z)\mathrm{d}z=F(\gamma (b))-F(\gamma (a)).$$

证明.

证明. 先证明第一个命题. 不失一般性, 假设 $D$ 的圆心是原点. 对任意 $z\in D$, 考虑下图所示的折线 ${\gamma }_z$:

定义$$F(z)={\int }_{{\gamma }_z}f(w)\mathrm{d}w,$$我们来证明这就是 $f$ 的原函数. 为此, 需要计算 $F(z+h)-F(z)$. 同时做出 ${\gamma }_z,{\gamma }_{z+h}$:

首先, 根据引理 2.2, 因为矩形上的积分为零, 所以 ${\gamma }_{z+h}$ 上的积分比起 ${\gamma }_z$ 多出来的是从 $z$ 到 $z+\mathrm{Re}(h)$ 再到 $z+h$ 的折线上的积分; 再因为三角形上的积分为零, 这段积分还等于 $z$ 到 $z+h$ 的线段上的积分. 记这条线段是 $\eta$, 则$$F(z+h)-F(z)={\int }_{\eta }f(w)\mathrm{d}w.$$因为 $f$ 是连续的, 所以 $f(w)=f(z)+\psi (w)$, 其中 $\psi (w)\to 0,w\to z$. 此时$${\int }_{\eta }f(w)\mathrm{d}w=f(z)h+{\int }_{\eta }\psi (w)\mathrm{d}w.$$进一步: $$\left|{\int }_{\eta }\psi (w)\mathrm{d}w\right|\le \underset{w\in \eta }{\max }|\psi (w)|\cdot |h|,$$当 $h\to 0$ 时, 上式为 $o(h)$, 即 $F(z+h)-F(z)=f(z)h+o(h),h\to 0$. 也就是 $F^{\prime }(z)=f(z)$. 第一个命题得证.

对于第二个命题, 如果 $\gamma$ 是可微的, 则简单地通过链式法则可得$${\int }_{\gamma }f(z)\mathrm{d}z={\int }_a^{b}f(\gamma (t)){\gamma }^{\prime }(t)\mathrm{d}t=F(\gamma (b))-F(\gamma (a)).$$如果不是, 设 $\gamma$ 在区间 $[a_0,a_1],[a_1,a_2],\cdots ,[a_{n-1},a_n]$ 可微, 其中 $a_0=a,a_n=b$. 这时$${\int }_{\gamma }f(z)\mathrm{d}z=\sum _{k=0}^{n-1}(F(\gamma (a_{k+1}))-F(\gamma (a_k)))=F(\gamma (b))-F(\gamma (a)).$$第二个命题得证.

$\square$

定理 1.1 的证明. 根据引理 2.1, 可不妨设 ${\gamma }_0,{\gamma }_1$ 分段可微. 设它们之间有同伦 $H:[0,1]\times [a,b]\to U$, 并令 ${\gamma }_s(t)=H(s,t)$. $H$ 是紧集 $[0,1]\times [a,b]$ 上的连续函数, 其像 $K$ 也是紧集.

由 $K$ 的紧性, 取 $ϵ>0$, 使得任何以 $K$ 中的点为中心, $4ϵ$ 为半径的圆盘都在 $U$ 内.

因为 $H$ 是一致连续函数, 对上述 $ϵ$, 可以找到 $\delta >0$ 使得只要 $|s_1-s_2|<\delta$, 就有$$\underset{t\in [a.b]}{\sup }|{\gamma }_{s_1}(t)-{\gamma }_{s_2}(t)|<ϵ.$$对任何上述 $s_1,s_2$, 找一组半径为 $2ϵ$ 的圆盘 $D_0,D_1,\cdots ,D_n$, 以及分别位于 ${\gamma }_{s_1},{\gamma }_{s_2}$ 上的两组点 $z_0,\cdots ,z_{n+1};w_0,\cdots ,w_{n+1}$, 使得 $z_0=w_0,z_{n+1}=w_{n+1}$ 分别是 ${\gamma }_{s_1},{\gamma }_{s_2}$ 的起点和终点, 且$$z_i,z_{i+1},w_i,w_{i+1}\in D_i,i=0,\cdots ,n.$$例如, 下图展示了 $n=4$ 的情况.

这些圆盘都包含在 $U$ 内. 对每个 $D_i$, 其内部可以找到 $f$ 的一个原函数 $F_i$, 这是因为引理 2.3 . 在 $D_i\cap D_{i+1}$ 中, $F_i,F_{i+1}$ 是同一个函数的两个原函数, 所以相差一个常数. 于是$$F_{i+1}(z_{i+1})-F_i(z_{i+1})=F_{i+1}(w_{i+1})-F_i(w_{i+1}),0\le i\le n-1,$$也就是$$F_{i+1}(z_{i+1})-F_{i+1}(w_{i+1})=F_i(z_{i+1})-F_i(w_{i+1}),0\le i\le n-1.$$这导致
$$\begin{array}{rl}{\int }_{{\gamma }_{s_1}}f(z)\mathrm{d}z-{\int }_{{\gamma }_{s_2}}f(z)\mathrm{d}z& =\sum _{i=0}^n(F_i(z_{i+1})-F_i(z_i))-\sum _{i=0}^n(F_i(w_{i+1})-F_i(w_i))\\ & =\sum _{i=0}^n(F_i(z_{i+1})-F_i(w_{i+1})-(F_i(z_i)-F_i(w_i)))\\ & =F_n(z_{n+1})-F_n(w_{n+1})-(F_0(z_0)-F_0(w_0))\\ & =0,\end{array}$$也就是 ${\int }_{{\gamma }_{s_1}}f={\int }_{{\gamma }_{s_2}}f$.

最后, 考虑一列数 $(s_n{)}_{0\le n\le N}$, 满足 $s_0=0,s_N=1$, 且 $0<s_{n+1}-s_n<\delta$, $N>1/\delta$. 于是$${\int }_{{\gamma }_{s_0}}f(z)\mathrm{d}z={\int }_{{\gamma }_{s_1}}f(z)\mathrm{d}z=\cdots ={\int }_{{\gamma }_{s_N}}f(z)\mathrm{d}z,$$定理得证.

$\square$

3推论

原函数

在之前的引理中提到, 在圆盘内全纯的函数总有原函数, 并且证明了类似于 Newton–Leibniz 公式的结果. 证明了 Cauchy 积分定理以后, 这种结论能被推广至单连通集合.

命题 3.1 (原函数). 设 $U\subset \mathbb{C}$ 是单连通开集, 则任何 $U\to \mathbb{C}$ 的全纯函数都有原函数.

单连通的条件是不能去掉的. 比如: $f(z)=1/z$ 在 $B(0,1)\setminus \{0\}$ 全纯, 如果它存在原函数, 则对内部包含原点的光滑曲线 $\gamma$ 有 ${\int }_{\gamma }f(z)\mathrm{d}z=0$; 但是这个积分等于 $2\pi \mathrm{i}$, 矛盾. 出现问题的原因在于 $B(0,1)\setminus \{0\}$ 不是单连通的.

4相关概念

术语翻译

Cauchy 积分定理 • 英文 Cauchy’s integral theorem • 德文 cauchyscher Integralsatz (m) • 法文 théorème intégral de Cauchy (m)