函数

函数阶乘的推广, 可以定义在所有复数上 (除了负整数和 以外), 其取值为复数. 函数满足函数方程并且 , 从而对正整数 , 有

函数是复平面上的亚纯函数.

1定义

定义 1.1 ( 函数). 设复数 满足 . 我们定义这定义了复平面的子集 上的全纯函数. 分部积分, 有用此等式可将其延拓为复平面上亚纯函数称为 函数.

2性质

命题 2.1 (整数处的行为)., . 对 , 处有一阶极点, 留数为 .

证明. 计算剩下可由 轻易推出.

命题 2.2 (刻画). 对任意正实数 , 函数都在条带 上有界. 反过来, 给定包含以上条带的开区域 及其上全纯函数 , 如 在条带上有界, 且对 上满足 , 就有 的常数倍.

证明. 满足 , 所以有界. 取定满足命题中条件的 . 首先用 可将其延拓到 , 仍记为 , 下证 . 仍由 , 可得 处为至多一阶的极点, 在 处留数为 . 于是令 , 则 为整函数, 亦满足 以及与 同样的有界性条件. 要证 恒为零.

先说明 在条带 中有界. 条带中 的部分是个紧集, 整函数在其中自然有界; 而在 部分的有界性则可由函数方程从条带 处移过来. 所以 有界.

现考虑 . 则有整函数等式从而 . 又 有界, 故它在 上有界. 由 Liouville 定理 为常函数; 由 知其恒为零. 两个整函数之积为 则其中至少一个为 , 这样便得到 , 也就完成了命题的证明.

命题 2.3 (Weierstraß 乘积公式). 为整函数, 且有 Weierstraß 乘积公式其中 Euler 常数.

证明. 记等式右边为 , 并令则由于 有界时 , 不难发现 上内闭一致收敛到 . 计算. 计算. 最后, 对 , , , , 于是 , 从而 , ; 特别地, 对任意正实数 , 在条带 中有界. 所以由 函数的刻画即知 .

显式证明. 为前 个自然数的倒数和, 则根据 Euler–Maclaurin 公式可知: 这意味着对于每个固定的 总有: 因此根据 (1) 可知: 此时令 便得结论.

命题 2.4 (Euler 乘积式).

证明. 注意等式右边的前 项乘积为与上一命题证明中的 相差无几, 立得结论.

显式证明. 定义函数列: 控制收敛可知, 对 , 有 . 计算便知(1)另一方面, 根据: 可知: 即得结论.

命题 2.5 (余元公式). 特别地, .

证明.. 观察 在其仅有的一阶极点即 上的留数, 知 为整函数. 又由 的函数方程以及 , 知 都在 中有界, 从而 中有界. 由于以及 , 有 . 于是 上有界, 是常数, 且为 . 命题得证.

显式证明. 其中 . 由 函数的性质知, 则有: (2)对于 (2) 右侧的积分, 由留数定理可知: (3) 时: 所以有: 另一方面当 时根据 , 可知: 将这些结果代入回 (3) 并令 , 则结合 (2) 就有:

命题 2.6 (Legendre 倍增公式).

证明. 只需注意到 满足 函数的刻画.

显式证明. 函数的性质可知: 根据 , 可知:

最后代入 即得结论.

命题 2.7 (Stirling 公式)., 则其中 中的常数只依赖于 .

证明. 上定义函数先说明在 . 令 , 则 , 要证明这在 时小于等于 . 将其在 Taylor 展开, 得故由等比数列求和公式, 其显然小于等于 . 于是求和 内闭一致收敛, 且在区域 上为 . 考虑 上的函数首先, 计算其次, 在 时, 由 容易发现 有界; 计算 , 由其在 时趋于 可知 有界; 最后 在条带上显然有界; 故 在其上有界. 于是 函数的常数倍, 设 . 则由 Legendre 倍增公式, , 由于 , , 故有 . 于是且在区域 , 即得欲证.

显式证明. 对 (1) 取对数可知: 代入适用于正整数 的 Stirling 公式, 即得: 对于剩下的和式, 代入 Euler–Maclaurin 公式, 便有: 将此结论回代, 得: 利用对数函数的性质, 我们知道: 所以当 时我们就得到了适用于复数的 Stirling 公式: (4)由于我们先前要求了 不落在负实轴上, 所以最后的积分必然收敛. 再结合周期 Bernoulli 函数的性质分部积分, 可知 时: 将这个渐近上界与 (4) 合并, 便得定理.

命题 2.8 (另一个刻画, Bohr–Mollerup). 对数凸, 即 凸. 反过来如 满足 , 且 凸, 则 .

证明. 函数的 Weierstraß 乘积公式得再求导得 对数凸. 如函数 满足命题中条件, 则至少它连续. 除以 , 不妨设 , 则对 , ; 对 , 由对数凸得 用函数方程展成 , 用 Euler 乘积式即得结论. 对 得到结论之后用函数方程即可完成证明.

3相关概念

Stirling 公式

函数

局部 函数

术语翻译

函数英文 gamma function德文 Gammafunktion (f)法文 fonction gamma (f)拉丁文 functio gamma (f)古希腊文 γάμμα συνάρτησις (f)