阶乘

自然数 $n$ 的阶乘是指乘积$$n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots n.$$它也是将集合 $\{1,2,3,\dots ,n\}$ 的元素排成一列的方法数.

例如, $3!=1\cdot 2\cdot 3=6$. 总共有 $6$ 种方法将 $\{1,2,3\}$ 的元素排成一列, 即 $123$, $132$, $213$, $231$, $312$, $321$.

1定义

定义 1.1. 自然数 $n$ 的阶乘是指乘积$$n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots n.$$特别地, 当 $n=0$ 时, 我们约定 $0!=1$.

2性质

基本性质

•	对任何自然数 $n>1$, 有递推关系 $n!=n\cdot (n-1)!$.

数论性质

•	$n!$ 的 $p$ 进赋值是$$v_p(n!)=\sum _{k=1}^{\infty }\lfloor \frac{n}{p^k}\rfloor .$$

•	Wilson 定理说明, 对素数 $p$, 有同余$$(p-1)!\equiv -1(\mathrm{mod}p).$$

渐近性质

Stirling 公式说明, $n!$ 可以由下面的表达式近似给出:$$n!\sim \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{\mathrm{e}}\right)}^n.$$严格地说, 当 $n\to +\infty$ 时, 上式两边的比值趋于 $1$.

3推广

复数的阶乘

通过 $\Gamma$ 函数, 可以将阶乘的定义域推广到复数域 $\mathbb{C}$ 上. 对任何复数 $z$, 我们可以定义$$z!=\Gamma (z+1).$$此时, 仍然有递推关系 $z!=z\cdot (z-1)!$. 但当 $z$ 为负整数时, $z!$ 没有定义. 例如, 我们有$$\frac{1}{2}!=\frac{1}{2}\sqrt{\pi },\frac{3}{2}!=\frac{3}{4}\sqrt{\pi },$$如此等等.

$q$-模拟

阶乘的 $q$-模拟, 即 $q$-阶乘, 定义为$$\begin{array}{rl}[n{]}_q!& =[1{]}_q\cdot [2{]}_q\cdots [n-1{]}_q\cdot [n{]}_q\\ & =1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})\cdot (1+q+\cdots +q^{n-1}).\end{array}$$当 $q=1$ 时, 得到的就是普通的阶乘.

4相关概念

•	$\Gamma$ 函数
•	双阶乘
•	除幂环

术语翻译

阶乘 • 英文 factorial • 德文 Fakultät (f) • 法文 factorielle (f) • 拉丁文 factorialis (f)