多项式系数

多项式系数是计数组合中的一些计数结果, 是二项式系数的推广. 给定自然数 $k_{1}, \dots, k_{m}$ , 记 $n = k_{1} + \dots + k_{m}$ , 则有多项式系数, 或者说 $m$ 项式系数, $(k _{1} , \dots , k _{m} n) = \frac{n !}{k _{1} ! \dots k _{m} !} .$ 这是将 $n$ 个不同物品放入 $m$ 个盒子, 使得每个盒子中分别有 $k_{1}, \dots, k_{m}$ 个物品的方法总数. 当 $m = 2$ 时, 多项式系数就是二项式系数: $(k _{1} , k _{2} n) = (k _{1} n) .$

与二项式系数类似, 多项式系数得名于多项式定理, 该定理给出了展开式 $(x_{1} + \dots + x_{m})^{n} = n = k_{1} + \dots + k_{m} \sum (k _{1} , \dots , k _{m} n) x_{1}^{k_{1}} \dots x_{m}^{k_{m}},$ 其中, 我们是对所有将 $n$ 写为 $m$ 个自然数之和的方式进行求和.

1定义
2性质
基本性质

1定义

定义 1.1. 给定自然数 $k_{1}, \dots, k_{m}$ , 记 $n = k_{1} + \dots + k_{m}$ . 定义多项式系数 $(k _{1} , \dots , k _{m} n) = \frac{n !}{k _{1} ! \dots k _{m} !} .$

2性质

基本性质

•	多项式系数总是自然数. 这可以由其组合意义看出来.

•	多项式系数可以由二项式系数表示出来: $(k _{1} , \dots , k _{m} n) = (k _{1} n) (k _{2} n - k _{1}) \dots (k _{m} n - k _{1} - \dots - k _{m - 1}) .$ 注意到, 乘积中最后一项其实是 $(k _{m} k _{m}) = 1$ .

术语翻译

多项式系数 • 英文 multinomial coefficient • 德文 Multinomialkoeffizient (m) • 法文 coefficient multinomial (m) • 日文多項係数 (たこうけいすう) • 韩文 다항 계수 (多項係數)

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