双阶乘

1定义

定义 1.1. 双阶乘是定义在 $\mathbb{N}$ 上的函数, $$\begin{array}{r}n!!:=\prod _{k=0}^{\lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor }(n-2k)\end{array}$$

例 1.2. $$6!!=2\times 4\times 6=48$$

2性质

命题 2.1 (递推方程). $$n!!=n(n-2)!!$$

命题 2.2 (与阶乘的关系). $$\begin{array}{rl}(2n)!!& =2^{n}n!\\ (2n-1)!!& =\frac{(2n)!}{2^{n}n!}\end{array}$$

3推广

负奇数上的推广

根据递推方程可以将双阶乘推广到负奇数.

定义 3.1. $$(-2n-1)!!:=\frac{(-1{)}^n}{(2n-1)!!}$$

复数上的推广

同样可以使用推广阶乘的方式来推广双阶乘, 即使用$\Gamma$ 函数. 需要注意的是, 双阶乘与阶乘的两个关系等式之间并不兼容, 有必要进行插值.

定义 3.2. $$n!!:=2^{\frac{n}{2}}\Gamma \left(\frac{n}{2}+1\right){\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{\frac{\cos n\pi -1}{4}}$$