Euler–Maclaurin 公式

在数学分析中, Euler–Maclaurin 公式是一个能用来表达函数在指定区间上的部分和与积分之差的公式. 这个公式在 1735 年前后由 Euler 和 Maclaurin 独立发现, 前者用其估算级数的值而后者用其计算积分.

1通用形式

定理 1.1. 当 $a<b$ 为实数、$f(x)\in C^1[a,b]$, 则有: $$\sum _{a<n\le b}f(n)={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x-{\overline{B}}_1(x)f(x){|}_a^b+{\int }_a^b{\overline{B}}_1(x)f^{\prime }(x)\mathrm{d}x$$

注 1.2. 由于 ${\overline{B}}_1(x)$ 不连续, 所以在中间差分是这样计算的: $${\overline{B}}_1(x)f(x){|}_a^b=\underset{\delta \to 0^{+}}{\lim }{\overline{B}}_1(x)f(x){|}_{a+\delta }^{b-\delta }$$

证明. 由 ${\overline{B}}_1(x)$ 的定义可知 $\mathrm{d}\lfloor t\rfloor =\mathrm{d}[t-{\overline{B}}_1(t)]$, 故有: $$\sum _{a<n\le b}f(n)-{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\int }_{a+}^{b-}f(x)\mathrm{d}{\overline{B}}_1(t)$$再做一次分部积分即得结论.

$\square$

2常用形式

在更多的场景中, 我们往往会要求区间的端点为整数, 所以结合注 1.2 便可将定理 1.1 化为:

定理 2.1. 当 $a<b$ 为整数、$f(x)\in C^1[a,b]$, 则有: $$\sum _{a\le n\le b}f(n)={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x+\frac{f(a)+f(b)}{2}+{\int }_a^b{\overline{B}}_1(x)f^{\prime }(x)\mathrm{d}x$$

如果 $f(x)$ 具有连续的高阶导数, 则通过分部积分法, 就可以结合周期 Bernoulli 函数的性质将最后一个积分变成:

$$\begin{array}{rl}{\int }_a^b{\overline{B}}_1(x)f^{\prime }(x)\mathrm{d}x& =\frac{{\overline{B}}_2(x)}{2}{f}^{\prime }(x){|}_a^b-\frac{1}{2}{\int }_a^b{\overline{B}}_3(x)f^{\prime \prime }(x)\mathrm{d}x\\ & =\frac{B_2}{2}{f}^{\prime }(x){|}_a^b-\frac{1}{2}{\int }_a^b{\overline{B}}_3(x)f^{\prime \prime }(x)\mathrm{d}x\\ & =\frac{B_2}{2}{f}^{\prime }(x){|}_a^b-\frac{B_3}{3!}{f}^{\prime }(x){|}_a^b+\frac{1}{3!}{\int }_a^b{\overline{B}}_3(x)f^{\prime \prime \prime }(x)\mathrm{d}x\\ & =\frac{B_2}{2}{f}^{\prime }(x){|}_a^b+\frac{B_4}{4!}{f}^{\prime \prime \prime }(x){|}_a^b+\frac{B_6}{6!}{f}^{(5)}(x){|}_a^b+\cdots \\ & +\frac{B_{2m}}{(2m)!}{f}^{(2m-1)}(x){|}_a^b-\frac{1}{(2m)!}{\int }_a^b{\overline{B}}_{2m}(x)f^{(2m)}(x)\mathrm{d}x\end{array}$$

于是定理 2.1 就可以化成:

定理 2.2. 当 $a<b$ 为整数、$f(x)\in C^q[a,b]$, 则有: $$\sum _{a\le n\le b}f(n)={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x+\frac{f(a)+f(b)}{2}+\sum _{1\le k\le q/2}\frac{B_{2k}}{(2k)!}{f}^{(2k-1)}(x){|}_a^b+R_q,$$其中: $$R_q=\frac{(-1{)}^{q+1}}{q!}{\int }_a^b{\overline{B}}_q(x)f^{(q)}(x)\mathrm{d}x.$$

3应用

调和数

调和数的定义为:

$$H_n=\sum _{1\le k\le n}\frac{1}{k}$$

通过积分放缩法, 易知 $H_n$ 发散, 但利用 Euler–Maclaurin 公式, 我们可以提取调和级数发散过程中的更多信息.

对调和数 $H_n$ 使用定理 2.1, 可知:

$$H_n=\log n+\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}-{\int }_1^n\frac{{\overline{B}}_1(x)}{x^2}\mathrm{d}x.$$(1)

利用性质 $|{\overline{B}}_1(x)|\le 1/2$, 易知最右侧的积分在 $n\to +\infty$ 时收敛, 所以下列极限存在:

$$\gamma =\underset{n\to \infty }{\lim }(H_n-\log n),$$

其中极限值 $\gamma$ 被称为 Euler–Mascheroni 常数. 利用这一点, 就可以将 (1) 化成:

$$H_n=\log n+\gamma +\frac{1}{2n}-{\int }_n^{\infty }\frac{-{\overline{B}}_1(x)}{x^2}\mathrm{d}x$$(2)

利用幂函数求导法则, 易知:

$$\frac{{\mathrm{d}}^q}{\mathrm{d}{x}^q}{x}^{-2}=(-1{)}^{q}q!x^{-1-q}$$

所以类似于定理 2.2, 我们可通过分部积分得知:

$$-{\int }_n^{\infty }\frac{{\overline{B}}_1(x)}{x^2}\mathrm{d}x=\sum _{1\le k\le q/2}\frac{B_{2k}}{(2k)!}(-1{)}^{2k-1}(2k-1)!x^{-2k}{|}_n^{\infty }-{\int }_n^{\infty }\frac{{\overline{B}}_q(x)}{x^{q+1}}\mathrm{d}x$$

综上所述, 我们就可以把 (2) 化成:

$$H_n=\log n+\gamma +\frac{1}{2n}-\sum _{1\le k\le q/2}\frac{B_{2k}}{2k{n}^{2k}}-{\int }_n^{\infty }\frac{{\overline{B}}_q(x)}{x^{q+1}}\mathrm{d}x$$

4相关概念

•	Bernoulli 数
•	Bernoulli 多项式