开映射定理 (复分析)

关于其它含义, 请参见 “开映射定理”.

复分析中的开映射定理是说, 非常值的全纯函数都是开映射, 即把开集映为开集.

1叙述

定理 1.1 (开映射定理). 设 $U\subset \mathbb{C}$ 是连通开集, $f:U\to \mathbb{C}$ 是非常值的全纯函数. 则 $f$ 是开映射.

定理中, $U$ 连通的假设可以去掉, 只需假设 $f$ 在 $U$ 的每个连通分支上都不是常值函数. 事实上, 只需对每个连通分支分别应用定理, 即可证明此结论.

2证明

在以下证明中, 我们只需证明 $f(U)$ 是开集, 因为可将 $U$ 替换为 $U$ 中任何连通开集, 并重复证明, 即可证明 $f$ 是开映射.

用局部表示

设 $z_0\in U$. 由全纯函数的局部表示, 存在自然数 $n>0$, 以及 $z_0$ 和 $f(z_0)$ 各自附近的局部坐标, 即全纯函数 $\phi :D\to U$ 和 $\psi :D\to \mathbb{C}$, 其中 $D\subset \mathbb{C}$ 是单位开圆盘, 使得 $\phi (0)=z_0$, $\psi (0)=f(z_0)$, 且有交换图$$DDU\mathbb{C}\text{ .}\phi z\mapsto z^n\psi f$$并且, $\phi ,\psi$ 都是到其像的双全纯映射, 从而是到其像的同胚. 由 $D$ 是开集, 知 $\psi (D)\subset \mathbb{C}$ 是包含 $f(z_0)$ 且包含于 $f(U)$ 的开集. 由于 $z_0$ 是任取的, 这就说明了 $f(U)$ 是 $\mathbb{C}$ 中的开集.

用辐角原理

取 $w_0\in f(U)$, 则存在 $z_0\in U$ 使得 $w_0=f(z_0)$. 需要证明 $w_0$ 是 $f(U)$ 的内点. 考虑函数 $f(z)-w_0$. 因为 $f$ 作为全纯函数的零点是孤立的 (参见恒等定理), 所以存在 $\rho >0$ 使得 $f(z)-w_0$ 在 $\overline{B(z_0,\rho )}\subset U$ 中只有唯一的零点 $z_0$. 记 $\gamma =\partial B(z_0,\rho )$, 它是紧集, 其上的连续函数 $|f(z)-w_0|$ 必有最小值, 记为 $\delta >0$ (因为 $\gamma$ 上无零点). 对任意 $a\in B(w_0,\delta )$ 和 $z\in \gamma$, 有$$|f(z)-w_0|\ge \delta >|a-w_0|.$$

令 $\Gamma =f(\gamma )$, 则上述结论说明 $n(\Gamma ,a)=n(\Gamma ,w_0)$, 其中 $n$ 表示环绕数. 根据辐角原理,$$n(\Gamma ,a)=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_{\Gamma }\frac{\mathrm{d}w}{w-a}=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_{\gamma }\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)-a}\mathrm{d}z,$$而右边是 $f(z)-a$ 所有零点对 $\gamma$ 的环绕数之和. 对 $w_0$ 也是如此. 注意到 $n(\Gamma ,a)=n(\Gamma ,w_0)$, 且 $f(z)-w_0$ 有唯一零点 $z_0$, 环绕数大于零, 于是 $f(z)-a$ 在 $B(z_0,\rho )$ 中存在零点, 这导致 $a\in f(B(z_0,\rho ))$, 也就是 $a\in f(U)$. 从而$$B(w_0,\delta )\subset f(U),$$也就是 $w_0$ 是 $f(U)$ 的内点. 所以 $f(U)$ 是开集.

3相关概念

术语翻译

开映射定理 • 英文 open mapping theorem • 德文 Offenheitsprinzip • 法文 théorème de l’image ouverte • 日文 開写像定理 (かいしゃぞうていり)