局部坐标

在微分几何中, 局部坐标是描述流形的局部信息的工具. 局部坐标也就是在流形上建立的坐标系, 使得我们可以用形如 $(x^1,\dots ,x^n)$ 的坐标描述流形上的点, 这里 $x^1,\dots ,x^n$ 是 $n$ 个实数. 这使得流形上的诸多几何对象和几何性质, 例如向量场、微分形式等, 都可以直接写成这 $n$ 个坐标分量来计算.

局部坐标是光滑流形的定义的一部分.

1定义

定义 1.1 (局部坐标). 设 $n$ 是自然数, $X$ 是 $n$ 维流形. 则 $X$ 上的局部坐标是指二元组 $(U,\phi )$, 其中

•	$U\subset {\mathbb{R}}^n$ 为开集.

•	$\phi :U\to X$ 是连续映射, 使得$$\phi :U\simeq \phi (U)$$是到开子集 $\phi (U)\subset X$ 的同胚.

若 $X$ 是光滑流形, 则通常也要求 $\phi$ 是光滑映射. 此时, 这组局部坐标在定义 $X$ 的光滑结构的图册中.

2相关概念

术语翻译

局部坐标 • 英文 coordinate chart