Lie 导数

Lie 导数是光滑函数的方向导数对张量场的推广. 除了方向导数外, 向量场的 Lie 括号也是 Lie 导数的特例.

1定义

设 $M$ 是光滑流形, ${\mathbf{T}}_p^q(M)$ 表示流形的 $(p,q)$ 型张量场构成的 $C^{\infty }(M)$-模, 则 $\mathbf{T}(M):={⨁}_{p,q=0}^{\infty }{\mathbf{T}}_p^q(M)$ 就是一个 $C^{\infty }(M)$-结合代数. 同时约定$${\mathbf{T}}_p^q(M{)}_x={\left({\mathrm{T}}_x^{\ast }(M)\right)}^{\otimes p}\otimes {\left({\mathrm{T}}_x(M)\right)}^{\otimes q}$$为在 $x$ 点的 $(p,q)$ 型张量积, 它是向量空间. 再约定 $\mathbf{T}(M{)}_x={⨁}_{p,q=0}^{\infty }{\mathbf{T}}_p^q(M{)}_x$

若 $\phi$ 是 $M$ 到它自身的局部微分同胚, 则它诱导切空间之间和余切空间之间的同构:$$\begin{array}{rl}{\phi }_{\ast }& :{\mathrm{T}}_x(M)\to {\mathrm{T}}_{\phi (x)}(M),\\ {\phi }^{\ast }& :{\mathrm{T}}_{\phi (x)}^{\ast }(M)\to {\mathrm{T}}_x^{\ast }(M)\end{array}$$这样有向量空间同构:$$({\tilde{\phi }}_p^q{)}_x={\left(({\phi }^{\ast }{)}^{-1}\right)}^{\otimes p}\otimes ({\phi }_{\ast }{)}^{\otimes q}:{\mathbf{T}}_p^q(M{)}_x\to {\mathbf{T}}_p^q(M{)}_{\phi (x)}$$进而有分次代数的同构:$${\tilde{\phi }}_x=\underset{p,q=0}{\overset{\infty }{⨁}}({\tilde{\phi }}_p^q{)}_x:\mathbf{T}(M{)}_x\to \mathbf{T}(M{)}_{\phi (x)}$$于是对于张量场 $K$, 我们定义如下张量场$$\tilde{\phi }(K{)}_x={\tilde{\phi }}_{{\phi }^{-1}(x)}\left(K_{{\phi }^{-1}(x)}\right),x\in M$$这样每个 $M$ 的局部微分同胚, 诱导一个 $\mathbf{T}(M)$ 的自同构 $\tilde{\phi }$.

设 $X$ 是一个 $M$ 上的向量场, ${\phi }_t$ 是它生成的 $M$ 的局部流. 这样可以定义:

定义 1.1 (Lie 导数). 张量场 $K$ 的关于向量场 $X$ 的 Lie 导数是如下方式定义的张量场 $L_{X}K$ $$(L_{X}K{)}_x=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{K_x-(\widetilde{{\phi }_t}K{)}_x}{t}$$从 $\mathbf{T}(M)$ 到自身的映射 $L_X$ 也称为关于向量场 $X$ 的 Lie 求导

2性质

命题 2.1. Lie 求导 $L_X$ 满足一下条件:

1.	$L_X$ 是 $\mathbb{R}$-线性, 且满足 Leibniz 规则: 对任意 $K,K^{\prime }\in \mathbf{T}(M)$ $$L_X(K\otimes K^{\prime })=(L_{X}K)\otimes K^{\prime }+K\otimes (L_X{K}^{\prime })$$
2.	$L_X$ 保型: $L_X({\mathbf{T}}_p^q(M))\subset {\mathbf{T}}_p^q(M)$;
3.	$L_X$ 与张量场的缩并运算可交换;
4.	对每个光滑函数 $f$ 有 $L_{X}f=Xf$;
5.	对每个向量场 $Y$ 有 $L_{X}Y=[X,Y]$.

满足上述前三个条件的 $\mathbf{T}(M)$ 到自身的映射称为张量场的求导算子. 通过这个命题可以计算张量场的 Lie 导数.

命题 2.2. 每个 $\mathbf{T}(M)$ 的求导算子 $D$ 可以唯一分解为以下形式: $$D=L_X+S$$这里 $X$ 是一个向量场而 $S$ 是一个 $(1,1)$ 型张量场诱导的求导算子.

命题 2.3. 对任意向量场 $X,Y$, 有$$L_{[X,Y]}=[L_X,L_Y]$$这里等号右边是求导算子的 Lie 括号. 即 Lie 求导算子构成了一个子 Lie 代数.

命题 2.4. 设 $K$ 是一个 $(p,q)$ 型张量场, 它可以视为从 $\mathrm{T}M\times \cdots \times \mathrm{T}M$ 出发的 $p$ 重 $C^{\infty }(M)$-多线性映射, 值是 $(0,q)$ 型张量, 则对任意向量场 $X,Y_1,\dots ,Y_p$ 有$$(L_{X}K)(Y_1,\dots ,Y_p)=L_X(K(Y_1,\dots ,K_p))-\sum _{i=1}^{p}K(Y_1,\dots ,[X,Y_i],\dots ,Y_p)$$

微分形式的 Lie 导数

设 ${\mathcal{A}}^r(M)$ 是 $M$ 上的 $r$ 次微分形式构成的 $C^{\infty }(M)$-模, $\mathcal{A}(M)={⨁}_{r=0}^m{\mathcal{A}}^r(M)$, $m=\dim M$. $\mathcal{A}(M)$ 求导算子是到其自身的线性映射 $D$, 且满足对任意 $\omega ,{\omega }^{\prime }\in \mathcal{A}(M)$$$D(\omega \wedge {\omega }^{\prime })=D\omega \wedge {\omega }^{\prime }+\omega \wedge D{\omega }^{\prime }$$或者$$D(\omega \wedge {\omega }^{\prime })=D\omega \wedge {\omega }^{\prime }+(-1{)}^r\omega \wedge D{\omega }^{\prime },\omega \in {\mathcal{A}}^r(M)$$这时 $D$ 称为反对称求导算子. 若 $D({\mathcal{A}}^r(M))\subset {\mathcal{A}}^{r+k}(M)$, 则称 $D$ 的次数为 $k$.

由于微分形式可以视为反对称张量场, 故有:

命题 2.5. 对任意向量场 $X$, $L_X$ 是 $\mathcal{A}(M)$ 上的 $0$ 次求导算子, 且与外微分算子 $d$ 可交换.

反过来, 任何一个 $\mathcal{A}(M)$ 上的 $0$ 次求导算子 $D$, 若与 $d$ 可交换, 那么存在向量场 $X$ 使得 $D=L_X$.

为了计算微分形式的 Lie 导数, 我们现在定义

定义 2.6. 对任意向量场 $X$, 微分形式的缩并是满足如下条件的 $\mathcal{A}(M)$ 上次数 $-1$ 的反对称求导算子 ${\iota }_X$:

1.	对任意光滑函数 $f$, 有 ${\iota }_{X}f=0$;
2.	对任意 $1$-形式 $\omega$, 有 ${\iota }_X(\omega )=\omega (X)$.

可以证明满足如上条件的反对称求导算子存在且有如下显式写法: 对微分形式 $\omega \in {\mathcal{A}}^r(M)$ 和向量场 $Y_1,\dots ,Y_{r-1}$ 有:$${\iota }_X(\omega )(Y_1,\dots ,Y_{r-1})=\omega (X,Y_1,\dots ,Y_{r-1})$$在 [Kobayashi–Nomizu 1963] 中还有个系数 $r$, 这是因为在定义微分形式以及作用在向量场的方法时乘以了系数 $1/r!$, 这里为了和条目 微分形式统一, 不乘以这个系数.

这样 ${\iota }_X^2=0$. 有如下命题:

命题 2.7 (Cartan 公式).

•	对任意向量场 $X$, $L_X=d\circ {\iota }_X+{\iota }_X\circ d$;
•	对任意向量场 $X,Y$, 有 $[L_X,{\iota }_Y]={\iota }_{[X,Y]}$.

3参考文献

S. Kobayashi, K. Nomizu (1963). Foundations of Differential Geometry. Foundations of Differential Geometry Vol I. Interscience Publishers.

术语翻译

Lie 导数 • 英文 Lie derivative