Lie 导数

Lie 导数是光滑函数的方向导数对张量场的推广. 除了方向导数外, 向量场的 Lie 括号也是 Lie 导数的特例.

1定义

是光滑流形, 表示流形的 张量场构成的 -, 则 就是一个 -结合代数. 同时约定为在 点的 型张量积, 它是向量空间. 再约定

到它自身的局部微分同胚, 则它诱导切空间之间和余切空间之间的同构:这样有向量空间同构:进而有分次代数的同构:于是对于张量场 , 我们定义如下张量场这样每个 的局部微分同胚, 诱导一个 的自同构 .

是一个 上的向量场, 是它生成的 的局部. 这样可以定义:

定义 1.1 (Lie 导数). 张量场 的关于向量场 Lie 导数是如下方式定义的张量场 到自身的映射 也称为关于向量场 Lie 求导

2性质

命题 2.1. Lie 求导 满足一下条件:

1.

-线性, 且满足 Leibniz 规则: 对任意

2.

保型: ;

3.

与张量场的缩并运算可交换;

4.

对每个光滑函数 ;

5.

对每个向量场 .

满足上述前三个条件的 到自身的映射称为张量场的求导算子. 通过这个命题可以计算张量场的 Lie 导数.

命题 2.2. 每个 的求导算子 可以唯一分解为以下形式: 这里 是一个向量场而 是一个 型张量场诱导的求导算子.

命题 2.3. 对任意向量场 , 有这里等号右边是求导算子的 Lie 括号. 即 Lie 求导算子构成了一个子 Lie 代数.

命题 2.4. 是一个 型张量场, 它可以视为从 出发的 -多线性映射, 值是 型张量, 则对任意向量场

微分形式的 Lie 导数

上的 次微分形式构成的 -模, , . 求导算子是到其自身的线性映射 , 且满足对任意 或者这时 称为反对称求导算子. 若 , 则称 的次数为 .

由于微分形式可以视为反对称张量场, 故有:

命题 2.5. 对任意向量场 , 上的 次求导算子, 且与外微分算子 可交换.

反过来, 任何一个 上的 次求导算子 , 若与 可交换, 那么存在向量场 使得 .

为了计算微分形式的 Lie 导数, 我们现在定义

定义 2.6. 对任意向量场 , 微分形式的缩并是满足如下条件的 上次数 的反对称求导算子 :

1.

对任意光滑函数 , 有 ;

2.

对任意 -形式 , 有 .

可以证明满足如上条件的反对称求导算子存在且有如下显式写法: 对微分形式 和向量场 有:在 [Kobayashi–Nomizu 1963] 中还有个系数 , 这是因为在定义微分形式以及作用在向量场的方法时乘以了系数 , 这里为了和条目 微分形式统一, 不乘以这个系数.

这样 . 有如下命题:

命题 2.7 (Cartan 公式).

对任意向量场 , ;

对任意向量场 , 有 .

3参考文献

S. Kobayashi, K. Nomizu (1963). Foundations of Differential Geometry. Foundations of Differential Geometry Vol I. Interscience Publishers.

术语翻译

Lie 导数英文 Lie derivative