浸没

在微分几何中, 浸没是光滑流形间的一类光滑映射, 其切映射是满射.

浸没的概念类似纤维丛, 但更弱一些, 因为浸没的不同纤维可以不同. 但 Ehresmann 纤维化定理说明, 如果该浸没是紧合映射, 则这些纤维无法变化, 故确实能得到纤维丛.

1定义

定义 1.1 (浸没). 设 $X,Y$ 为光滑流形, $f:X\to Y$ 为光滑映射. 称 $f$ 为浸没, 若满足以下条件:

•	对任意 $x\in X$, 切映射 $d{f}_x:{\mathrm{T}}_{x}X\to {\mathrm{T}}_{f(x)}Y$ 是满射.

2例子

•	光滑流形间的所有局部微分同胚都是浸没.

3性质

基本性质

命题 3.1 (局部形式). 设 $f:X\to Y$ 是浸没, 则对任意 $x\in X$, 存在 $x$ 的开邻域 $U$ 和其上的局部坐标 $x^1,\dots ,x^m$, 以及 $f(x)$ 的开邻域 $V$ 和其上局部坐标 $y^1,\dots y^n$, 使得 $f$ 在这些局部坐标下可以写为$$(x^1,\dots ,x^m)\mapsto (x^1,\dots ,x^n)$$的形式, 这里 $n\le m$.

证明. 这是常秩定理的特例.

$\square$

4参考文献

•	J. Lee (2012). Introduction to Smooth Manifolds, 2ed. Graduate Texts in Mathematics 218. Springer.

术语翻译

浸没 • 英文 submersion • 法文 submersion