微分同胚

在微分几何中, 光滑流形间的微分同胚是 “两个光滑流形看起来完全一样” 这一概念的精确表述. 微分同胚的光滑流形具有完全相同的几何性质.

微分同胚的概念强于同胚. 也就是说, 微分同胚一定是同胚, 但反过来不一定成立. 例如, 怪球同胚于标准的球面, 但两者之间不存在微分同胚.

1定义

定义 1.1. 设 $X,Y$ 为光滑流形, $f:X\to Y$ 为光滑映射. 称 $f$ 为微分同胚, 如果满足以下条件:

•	存在光滑映射 $g:Y\to X$, 使得 $g\circ f=1_X$, 且 $f\circ g=1_Y$.

此时, 记 $g=f^{-1}$, 称为 $f$ 的逆映射. 也称 $X,Y$ 为微分同胚的光滑流形.

2例子

•	恒同映射都是微分同胚.

•	光滑流形的局部坐标是从 Euclid 空间中的开集到该流形的开子流形的微分同胚.

•	$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $x\mapsto x^3$ 是光滑映射, 也是同胚, 但不是微分同胚, 因为其逆映射不是光滑映射.

3相关概念

术语翻译

微分同胚 • 英文 diffeomorphism