张量场

张量场是向量场的推广, 有时简称张量. 对光滑流形 $M$ 而言, 向量场是 $M$ 的切丛 $\mathrm{T}M$ 的光滑截面, 也就是为每个点 $x\in M$ 赋予切空间 ${\mathrm{T}}_{x}M$ 中的一个向量, 使得它随点光滑地变化. $(\mathbf{p},\mathbf{q})$-张量场则是 $p$ 个余切丛与 $q$ 个切丛的张量积 $({\mathrm{T}}^{\ast }M{)}^{\otimes p}\otimes (\mathrm{T}M{)}^{\otimes q}$ 的光滑截面, 也就是为每个点赋予切空间 ${\mathrm{T}}_{x}M$ 上的 $(p,q)$-张量, 使得它随点光滑地变化. 粗略地说, 流形上的张量大致就是 “吃掉 $p$ 个向量场, 就能吐出 $q$ 个向量场” 的对象. 和线性代数中的情形类似, 给定一张局部坐标卡后, 也可以将张量场写成分量形式.

张量场在物理学中很常用, 因为很多物理量是时空流形上的张量场. 例如, 电磁场张量是时空流形上的反对称 $(2,0)$-张量场, 也就是 $2$-形式; 能动张量是时空流形上的对称 $(2,0)$-张量场; 引力张量是时空流形上的对称 $(2,0)$-张量场, 即对称双线性型的场. 但是, 有些具有等变性的物理量并不是张量场, 例如旋量场.

1定义

定义 1.1. 对光滑流形 $M$, 记它的切丛为 $\mathrm{T}M$, 对自然数 $p,q$, $M$ 上的 $(\mathbf{p},\mathbf{q})$-张量场, 简称 $(\mathbf{p},\mathbf{q})$-张量是向量丛的张量积$$({\mathrm{T}}^{\ast }M{)}^{\otimes p}\otimes (\mathrm{T}M{)}^{\otimes q}=\underset{p\text{个}}{\underbrace{({\mathrm{T}}^{\ast }M)\otimes \cdots \otimes ({\mathrm{T}}^{\ast }M)}}\otimes \underset{q\text{个}}{\underbrace{\mathrm{T}M\otimes \cdots \otimes \mathrm{T}M}}.$$的光滑截面.

注 1.2. 可以看出, 流形上的张量在一点 $p$ 处的取值即为此点处切空间 ${\mathrm{T}}_{p}M$ 上的张量, 截面的光滑性即是说这一族张量光滑地变化.

通过 Serre–Swan 定理, 将向量丛和它的截面构成的模等同起来, 可以得到张量积的一种等价描述. 使用这种描述也可以定义代数簇上的张量.

定义 1.3. 流形 $M$ 上的 $(\mathbf{p},\mathbf{q})$-张量是张量积$$\Gamma ({\mathrm{T}}^{\ast }M{)}^{\otimes p}\otimes \Gamma (\mathrm{T}M{)}^{\otimes q}=\underset{p\text{个}}{\underbrace{\Gamma ({\mathrm{T}}^{\ast }M){\otimes }_R\cdots {\otimes }_R\Gamma ({\mathrm{T}}^{\ast }M)}}{\otimes }_R\underset{q\text{个}}{\underbrace{\mathrm{T}M{\otimes }_R\cdots {\otimes }_R\mathrm{T}M}}.$$中的一个元素, 其中 $R$ 表示 $M$ 上的光滑函数环 $C^{\infty }(M)$, $\Gamma$ 表示向量丛的所有截面构成的 $C^{\infty }(M)$-模.

同样通过张量积的性质, 可以将张量和 $C^{\infty }(M)$-线性映射一一对应, 见命题 3.1.

有时也会给流形上的张量加上一些要求, 例如对称、交错等.

定义 1.4. 有自然的向量丛间的嵌入$$\begin{array}{c}{\mathrm{Sym}}^n({\mathrm{T}}^{\ast }M)\hookrightarrow ({\mathrm{T}}^{\ast }M{)}^{\otimes n}\\ {\wedge }^n({\mathrm{T}}^{\ast }M)\hookrightarrow ({\mathrm{T}}^{\ast }M{)}^{\otimes n}.\end{array}$$称 $(p,0)$-张量 $T$ 为 $\mathbf{p}$ 次对称张量, 如果此截面落在子丛 ${\mathrm{Sym}}^p({\mathrm{T}}^{\ast }M)$ 中; 称 $(p,0)$-张量 $T$ 为 $\mathbf{p}$ 次反对称张量, 如果此截面落在子丛 ${\wedge }^p({\mathrm{T}}^{\ast }M)$ 中.

定义 1.5. 由定义, 有自然的商映射$$\begin{array}{c}(\mathrm{T}M{)}^{\otimes p}\twoheadrightarrow {\mathrm{Sym}}^p(\mathrm{T}M)\\ (\mathrm{T}M{)}^{\otimes p}\twoheadrightarrow {\wedge }^p(\mathrm{T}M).\end{array}$$称 $(p,0)$-张量 $T$ 为 $\mathbf{p}$ 次对称张量, 如果 $T$ 穿过 ${\mathrm{Sym}}^p(\mathrm{T}M)$; 称 $(p,0)$-张量 $T$ 为 $\mathbf{p}$ 次交错张量, 如果 $T$ 穿过 ${\wedge }^p(\mathrm{T}M)$.

2例子

对给定的流形 $M$,

•	$(0,0)$-张量是它上面的光滑函数, 也称为标量场;
•	$(0,1)$-张量场就是向量场;
•	$(1,0)$-张量场就是 $1$-形式;
•	$p$ 次交错张量场就是 $p$-形式.
•	Riemann 度量是 $2$ 次对称张量场.
•	如给定其切丛上的联络 (例如 Levi-Civita 联络), 可以定义曲率张量, 它是 $(3,1)$-张量场. 但联络本身不是张量场, 因为 ${\nabla }_{X}Y$ 对 $Y$ 并不是 $C^{\infty }(M)$-线性的.

3性质

流形上张量的性质与向量空间上张量的相应性质基本相同.

命题 3.1 (与多重线性映射的关系). $M$ 上的 $(p,q)$-张量 $T$ 与 多重 $C^{\infty }(M)$-线性映射$$\underset{p\text{个}}{\underbrace{\Gamma (\mathrm{T}M)\times \cdots \times \Gamma (\mathrm{T}M)}}\times \underset{q\text{个}}{\underbrace{\Gamma ({\mathrm{T}}^{\ast }M)\times \cdots \times \Gamma ({\mathrm{T}}^{\ast }M)}}\to C^{\infty }(M)$$一一对应.

同样通过此一对应, 可以将张量写成分量形式.

命题 3.2 (分量表示). 取 $M$ 的一张坐标卡 $U\to {\mathbb{R}}^n$, ${\mathbb{R}}^n$ 上的标准向量场和 $1$-形式拉回至 $U$ 上, 它给出 $U$ 的向量场 $\{e_1,\dots ,e_n\}$ 和 $1$-形式 $\{{\omega }^1,\cdots ,{\omega }^n\}$. 对 $(p,q)$-张量 $T$, 将它对应于相应的多重线性映射, 定义$$T_{i_1\dots i_p}^{j_1\dots j_q}=T(e_{i_1},\dots ,e_{i_p},{\omega }^{j_1},\dots {\omega }^{j_q}),i_1,\dots ,i_p,j_1,\dots ,j_q\in \{1,\dots ,n\}.$$它是 $U$ 上的函数, 则对任意向量场以及微分形式$$v_j=\sum {\alpha }_j^i{e}_i,{\eta }^j=\sum {\beta }_i^j{\omega }^i,{\alpha }_j^i,{\beta }_i^j\in \mathbb{R}$$可以计算出张量作用在其上的取值: $$T(v_1,\dots v_p,{\eta }^1,\cdots ,{\eta }^q)=\sum _{i,j}{\alpha }_1^{i_1}\cdots {\alpha }_p^{i_p}{\beta }_{j_1}^1\cdots {\beta }_{j_q}^q{T}_{i_1\dots i_p}^{j_1\dots j_q}.$$因此张量的性质完全被其分量所体现, 可以将张量记为 (在固定一张坐标卡后) $$T=(T_{i_1\dots i_p}^{j_1\dots j_q}).$$

张量的的表现形式在坐标卡的变换下有等变性.

命题 3.3. 对流形 $M$ 中点 $x$ 的邻域的两张坐标卡 $U_1\to {\mathbb{R}}^n$, $U_2\to {\mathbb{R}}^n$, 相应向量场与微分形式在点 $x$ 处的拉回为 $\{e_1,\cdots ,e_n\}$, $\{{\omega }_1,\cdots ,{\omega }_n\}$, $\{e_1^{\prime },\cdots ,e_n^{\prime }\}$, $\{{\omega }_1^{\prime },\cdots ,{\omega }_n^{\prime }\}$, 设相应的张量分量为 $T_{i_1\dots i_p}^{j_1\dots j_q}$ 和 ${T^{\prime }}_{i_1\dots i_p}^{j_1\dots j_q}$, 设坐标卡之间的 Jacobi 矩阵为 $A$, 则 $e_i^{\prime }=\sum A_i^j{e}_j$, $B=A^{-1}$, 则有$${T^{\prime }}_{i_1\dots i_p}^{j_1\dots j_q}=\sum _{i,j}{T}_{i_1\dots i_p}^{j_1\dots j_q}{A}_1^{i_1}\cdots A_p^{i_p}{B}_{j_1}^1\cdots B_{j_q}^q.$$

张量的对称与交错也在分量形式中被体现.

命题 3.4. 固定 $M$ 的一张坐标卡, $(p,0)$-张量 $T$ 是对称的, 当且仅当对任意置换 $\sigma \in {\mathfrak{S}}_p$, $$T_{i_1\dots i_p}=T_{\sigma (i_1)\dots \sigma (i_p)}.$$$(p,0)$-张量 $T$ 是交错的, 当且仅当对任意置换 $\sigma \in {\mathfrak{S}}_p$, $$T_{i_1\dots i_p}=\mathrm{sgn}(\sigma )T_{\sigma (i_1)\dots \sigma (i_p)}.$$其中 $\mathrm{sgn}$ 表示置换的符号.

术语翻译

张量场 • 英文 tensor field • 德文 Tensorfeld (n) • 法文 champ tensoriel (m) • 拉丁文 campus tensorialis (m) • 古希腊文 τανυστοπέδιον (n)